Dada a função
, usando a regra da cadeia, determine:
, se
e
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e as funções que fazem a mudança de variável
A pergunta é: calcular
(a derivada parcial de
em relação a
), supondo que
e
dependem de
e
como dado acima.
Passo 2
Plano de ação (o que vamos usar): quando
depende de
e
dependem de
, a regra da cadeia para derivada parcial diz
Vou calcular primeiro
e
(derivadas parciais de
em relação a
e
, tratando a outra variável como constante), depois
e
, e por fim aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Calcular
.
Temos
com
e
. Usamos produto e cadeia:
- Derivada de
em relação a : a função vista como com . Derivada de é . Como (tratando como constante),
- Derivada de
em relação a : . Derivada de é vezes a derivada do argumento; . Logo
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
,
Passo 4
Calcular
.
Novamente
com os mesmos
e
.
- Derivada de
em relação a : por cadeia, . - Derivada de
em relação a : derivada do argumento em relação a é , então
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
,
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia:
Substituindo
,
,
e
:
Fatorando
:
Agora substituímos
e
para expressar tudo em termos de
e
. Denotando
e
, obtemos a forma final abaixo.
Passo 7
Expressão final em termos de
e
: