Dada a função f(x, y)=e^{x y} \cos (2 x-y), usando a regra da cadeia, determine:
\frac{\partial f}{\partial s}, se x(s, t)=2 t^{2}+s^{3} e y(s, t)=3 s t+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis f(x,y)=e^{x y}\cos(2x-y) e as funções que fazem a mudança de variável
x(s,t)=2t^{2}+s^{3},\qquad y(s,t)=3st+1.
A pergunta é: calcular \dfrac{\partial f}{\partial s} (a derivada parcial de f em relação a s), supondo que x e y dependem de s e t como dado acima.

Passo 2

Plano de ação (o que vamos usar): quando f depende de (x,y) e x,y dependem de (s,t), a regra da cadeia para derivada parcial diz
\frac{\partial f}{\partial s}= \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.
Vou calcular primeiro \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} (derivadas parciais de f em relação a x e y, tratando a outra variável como constante), depois \dfrac{\partial x}{\partial s} e \dfrac{\partial y}{\partial s}, e por fim aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Temos f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) com u(x,y)=e^{xy} e v(x,y)=\cos(2x-y). Usamos produto e cadeia:
  • Derivada de u em relação a x: a função e^{xy} vista como e^{g(x)} com g(x)=xy. Derivada de e^{g} é g' e^{g}. Como g'=y (tratando y como constante),
\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y\,e^{xy}.
  • Derivada de v em relação a x: v=\cos(2x-y). Derivada de \cos é -\sin vezes a derivada do argumento; \dfrac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\cos(2x-y)=-2\sin(2x-y).
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x} = \left(y e^{xy}\right)\cos(2x-y) + e^{xy}\left(-2\sin(2x-y)\right).
Fatorando e^{xy},
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}=e^{xy}\bigl(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\bigr).}

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Novamente f=u\,v com os mesmos u e v.
  • Derivada de u=e^{xy} em relação a y: por cadeia, \dfrac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\,e^{xy}.
  • Derivada de v=\cos(2x-y) em relação a y: derivada do argumento em relação a y é -1, então
\frac{\partial}{\partial y}\cos(2x-y) = -\sin(2x-y)\cdot(-1)=\sin(2x-y).
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y} = \left(x e^{xy}\right)\cos(2x-y) + e^{xy}\sin(2x-y).
Fatorando e^{xy},
\boxed{\frac{\partial f}{\partial y}=e^{xy}\bigl(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\bigr).}

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s:
\frac{\partial x}{\partial s}=\frac{\partial}{\partial s}\bigl(2t^{2}+s^{3}\bigr)=3s^{2},
\frac{\partial y}{\partial s}=\frac{\partial}{\partial s}\bigl(3st+1\bigr)=3t.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial x}{\partial s} e \dfrac{\partial y}{\partial s}:
\frac{\partial f}{\partial s} = e^{xy}\bigl(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\bigr)\cdot 3s^{2} + e^{xy}\bigl(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\bigr)\cdot 3t.
Fatorando 3e^{xy}:
\frac{\partial f}{\partial s} =3e^{xy}\Bigl[s^{2}\bigl(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\bigr)+t\bigl(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\bigr)\Bigr].
Agora substituímos x(s,t)=2t^{2}+s^{3} e y(s,t)=3st+1 para expressar tudo em termos de s e t. Denotando X=2t^{2}+s^{3} e Y=3st+1, obtemos a forma final abaixo.

Passo 7

Expressão final em termos de s e t:
\boxed{\frac{\partial f}{\partial s}(s,t) =3\;e^{(2t^{2}+s^{3})(3st+1)}\Bigl[s^{2}\bigl((3st+1)\cos\bigl(2(2t^{2}+s^{3})-(3st+1)\bigr)-2\sin\bigl(2(2t^{2}+s^{3})-(3st+1)\bigr)\bigr)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +t\bigl((2t^{2}+s^{3})\cos\bigl(2(2t^{2}+s^{3})-(3st+1)\bigr)+\sin\bigl(2(2t^{2}+s^{3})-(3st+1)\bigr)\bigr)\Bigr].}

Resposta

\displaystyle 3\,e^{(2t^{2}+s^{3})(3st+1)}\Bigl[s^{2}\bigl((3st+1)\cos\bigl(2(2t^{2}+s^{3})-(3st+1)\bigr)-2\sin\bigl(2(2t^{2}+s^{3})-(3st+1)\bigr)\bigr)+t\bigl((2t^{2}+s^{3})\cos\bigl(2(2t^{2}+s^{3})-(3st+1)\bigr)+\sin\bigl(2(2t^{2}+s^{3})-(3st+1)\bigr)\bigr)\Bigr]

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