Dada a função f(x, y)=y e^{-x y}, determine no ponto P(0,2) :
a. As direções em que a derivada direcional tem valor 1 ;
b. A taxa de variação máxima de f e a direção em que isso ocorre.
c. Calcule a reta normal ao gráfico de f no ponto P.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y e^{-x y} e o ponto P(0,2). Pede três coisas:
a. Encontrar as direções (vetores unitários) em que a derivada direcional de f em P vale 1.
b. Determinar a taxa de variação máxima de f em P e a direção em que essa taxa máxima ocorre.
c. Calcular a reta normal ao gráfico de f no ponto P.
As informações relevantes fornecidas são: a expressão de f(x,y) e as coordenadas do ponto P. Não há outras condições ocultas.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o conceito que usaremos para (a) e (b): derivada direcional e gradiente.
  • A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário u=(u_1,u_2) é dada por
D_{u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar. Vou explicar: o gradiente \nabla f=(f_x,f_y) reúne as derivadas parciais de f. O produto escalar com u projeta esse gradiente na direção u, dando a taxa de variação de f quando nos movemos naquele sentido.
  • Portanto, para (a) precisamos achar vetores unitários u tais que
\nabla f(0,2)\cdot u = 1.
  • Para (b) há um resultado importante (vou justificar depois): a taxa de variação máxima tem valor igual ao módulo do gradiente \lVert \nabla f(x_0,y_0)\rVert, e a direção onde isso ocorre é a direção do próprio gradiente (vetor gradiente normalizado).

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de f. Dica: f(x,y)=y e^{-xy} é produto de y por e^{-xy}, então usamos regra do produto e regra da cadeia.
  • Derivada parcial em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(y e^{-xy}\big)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-xy}\big).
Aplicando a regra da cadeia em \frac{\partial}{\partial x}e^{-xy}: derivada de e^{g(x,y)} é e^{g(x,y)}\cdot g_x, com g(x,y)=-xy e g_x=-y. Assim
\frac{\partial}{\partial x}e^{-xy}=e^{-xy}(-y).
Logo
f_x(x,y)=y\cdot e^{-xy}(-y)=-y^2 e^{-xy}.
  • Derivada parcial em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{-xy}\big)=1\cdot e^{-xy}+y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-xy}\big).
Novamente regra da cadeia: g_y=-x, então \frac{\partial}{\partial y}e^{-xy}=e^{-xy}(-x). Assim
f_y(x,y)=e^{-xy}+y\cdot e^{-xy}(-x)=e^{-xy}(1- x y).
  • Agora avaliamos no ponto P(0,2). Como e^{-x y} em (0,2) vale e^{0}=1,
f_x(0,2)=- (2)^2\cdot 1 = -4,
f_y(0,2)=1-0\cdot 2=1.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(0,2)=(-4,\,1).

Passo 4

Resolvendo a parte (a). Queremos vetores unitários u=(a,b) tais que a^2+b^2=1 e
\nabla f(0,2)\cdot u = (-4,1)\cdot (a,b) = -4a + b = 1.
Essa é uma equação linear em a,b. Podemos isolar b:
b = 1 + 4a.
Agora impondo a condição de unidade a^2+b^2=1 obtemos uma equação em a.

Passo 5

Substituindo b=1+4a na condição a^2+b^2=1:
a^2 + (1+4a)^2 = 1.
Desenvolvendo:
a^2 + 1 + 8a + 16a^2 = 1.
Simplificando (note que o 1 cancela com o outro 1 do lado direito):
17a^2 + 8a = 0.
Fatorando:
a(17a + 8) = 0.
Logo as soluções são a=0 ou a=-\dfrac{8}{17}.
  • Para a=0: b=1+4\cdot 0 = 1. O vetor é u=(0,1). Verificação rápida: 0^2+1^2=1 e (-4,1)\cdot(0,1)=1, ok.
  • Para a=-\dfrac{8}{17}: então
b = 1 + 4\left(-\dfrac{8}{17}\right) = 1 - \dfrac{32}{17} = -\dfrac{15}{17}.
O vetor é u=\left(-\dfrac{8}{17}, -\dfrac{15}{17}\right). Verificação do módulo:
\left(-\dfrac{8}{17}\right)^2+\left(-\dfrac{15}{17}\right)^2=\dfrac{64+225}{289}=\dfrac{289}{289}=1,
e o produto escalar com o gradiente dá 1. Assim há exatamente duas direções unitárias que satisfazem a condição.

Passo 6

Parte (b). Resultado teórico: a taxa de variação máxima de f em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto:
\text{taxa máxima}=\lVert \nabla f(0,2)\rVert=\sqrt{(f_x(0,2))^2+(f_y(0,2))^2}.á
Isso vem porque, para um vetor unitário u, D_u f=\nabla f\cdot u=\lVert\nabla f\rVert\langle \hat{\nabla f}, u\rangle e o produto interno é no máximo 1 quando u tem mesma direção que \nabla f.
Calculando com \nabla f(0,2)=(-4,1):
\lVert \nabla f(0,2)\rVert=\sqrt{(-4)^2+1^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
A direção onde ocorre essa taxa máxima é a direção do gradiente. O vetor unitário nessa direção é
u_{\text{máx}}=\frac{\nabla f(0,2)}{\lVert \nabla f(0,2)\rVert=\sqrt{17}}=\left(-\dfrac{4}{\sqrt{17}},\,\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right).á

Passo 7

Parte (c): reta normal ao gráfico de f em P.
  • O gráfico de f é a superfície S=\{(x,y,z)\mid z=f(x,y)\}. Uma normal à superfície em um ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é dada pelo vetor
N = (-f_x(x_0,y_0), -f_y(x_0,y_0), 1),
porque consideramos a função de nível F(x,y,z)=z-f(x,y)=0 e \nabla F = (-f_x,-f_y,1) é normal à superfície. (Obs.: qualquer múltiplo não-nulo desse vetor também é normal.)
  • Em P(0,2) temos f_x(0,2)=-4 e f_y(0,2)=1, logo um vetor normal conveniente é
N = (-(-4), -1, 1) = (4, -1, 1).
  • A reta normal passa pelo ponto Q=(0,2,f(0,2)). Calculamos f(0,2)=2 e^{0}=2, então Q=(0,2,2).
  • A equação paramétrica da reta normal, usando parâmetro t, é
\begin{cases} x(t)=0 + 4t = 4t,\\[4pt] y(t)=2 - t,\\[4pt] z(t)=2 + t. \end{cases}
Também podemos escrever na forma simétrica:
\frac{x-0}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{1}.]

Resposta

(a) u=(0,1) e u=\left(-\dfrac{8}{17},-\dfrac{15}{17}\right)
(b) Taxa máxima: \sqrt{17}. Direção: u_{\text{máx}}=\left(-\dfrac{4}{\sqrt{17}},\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)á
(c) Reta normal (paramétrica): x=4t,\;y=2-t,\;z=2+t (ou simetricamente \dfrac{x}{4}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-2}{1}).

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