Dada a função f(x, y)=y e^{-x y}, determine no ponto P(0,2) :
a. As direções em que a derivada direcional tem valor 1 ;
b. A taxa de variação máxima de f e a direção em que isso ocorre.
c. Calcule a reta normal ao gráfico de f no ponto P.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=y e^{-x y} e o ponto P(0,2). Pede três coisas:
a. Encontrar as direções (vetores unitários) em que a derivada direcional de f em P vale 1.
b. Determinar a taxa de variação máxima de f em P e a direção em que essa taxa máxima ocorre.
c. Calcular a reta normal ao gráfico de f no ponto P.
As informações relevantes fornecidas são: a expressão de f(x,y) e as coordenadas do ponto P. Não há outras condições ocultas.
Passo 2
Primeiro precisamos entender o conceito que usaremos para (a) e (b): derivada direcional e gradiente.
A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário u=(u_1,u_2) é dada por
D_{u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar. Vou explicar: o gradiente \nabla f=(f_x,f_y) reúne as derivadas parciais de f. O produto escalar com u projeta esse gradiente na direção u, dando a taxa de variação de f quando nos movemos naquele sentido.
Portanto, para (a) precisamos achar vetores unitários u tais que
\nabla f(0,2)\cdot u = 1.
Para (b) há um resultado importante (vou justificar depois): a taxa de variação máxima tem valor igual ao módulo do gradiente \lVert \nabla f(x_0,y_0)\rVert, e a direção onde isso ocorre é a direção do próprio gradiente (vetor gradiente normalizado).
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais de f. Dica: f(x,y)=y e^{-xy} é produto de y por e^{-xy}, então usamos regra do produto e regra da cadeia.
Isso vem porque, para um vetor unitário u, D_u f=\nabla f\cdot u=\lVert\nabla f\rVert\langle \hat{\nabla f}, u\rangle e o produto interno é no máximo 1 quando u tem mesma direção que \nabla f.
O gráfico de f é a superfície S=\{(x,y,z)\mid z=f(x,y)\}. Uma normal à superfície em um ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é dada pelo vetor
N = (-f_x(x_0,y_0), -f_y(x_0,y_0), 1),
porque consideramos a função de nível F(x,y,z)=z-f(x,y)=0 e \nabla F = (-f_x,-f_y,1) é normal à superfície. (Obs.: qualquer múltiplo não-nulo desse vetor também é normal.)
Em P(0,2) temos f_x(0,2)=-4 e f_y(0,2)=1, logo um vetor normal conveniente é
N = (-(-4), -1, 1) = (4, -1, 1).
A reta normal passa pelo ponto Q=(0,2,f(0,2)). Calculamos f(0,2)=2 e^{0}=2, então Q=(0,2,2).
A equação paramétrica da reta normal, usando parâmetro t, é