Dada a função f(x, y)=x^{2} y^{3}, determine o vetor gradiente de f no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y^{3} e pede para determinar o vetor gradiente de f no ponto (1,1).
Informações relevantes:
  • Função: f(x,y)=x^{2}y^{3}.
  • Ponto onde avaliar: (1,1).
  • Pedido: calcular \nabla f(1,1) (o vetor gradiente de f em (1,1)).

Passo 2

O que é o vetor gradiente e como vamos calculá‑lo.
  • O vetor gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Intuição simples: \frac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando só x muda (com y preso); \frac{\partial f}{\partial y} mede a variação quando só y muda (com x preso).
Vamos então calcular as duas derivadas parciais explicitamente.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a x.
  • Para \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante. Escrevendo f(x,y)=x^{2}\cdot y^{3}, a parte que depende de x é x^{2}.
  • Aplicando a regra de potência ( \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}) obtemos:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\cdot y^{3}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y.
  • Para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante. Escrevendo f(x,y)=x^{2}\cdot y^{3}, a parte que depende de y é y^{3}.
  • Aplicando a regra de potência em y obtemos:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (1,1).
  • Substituindo x=1 e y=1 em \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2\cdot 1\cdot 1^{3}=2.
  • Substituindo x=1 e y=1 em \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=3\cdot 1^{2}\cdot 1^{2}=3.

Passo 6

Montar o vetor gradiente em (1,1) e interpretação rápida.
  • O vetor gradiente é a tupla das duas componentes calculadas:
\nabla f(1,1)=(2,3).
  • Interpretação curta: no ponto (1,1) a função cresce mais rapidamente na direção cuja componente em x é 2 e em y é 3; a direção do gradiente aponta para o maior aumento de f.

Resposta

\nabla f(1,1)=(2,3)

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