Dada a função
, determine o vetor gradiente de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o vetor gradiente de
no ponto
.
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto onde avaliar:
. - Pedido: calcular
(o vetor gradiente de em ).
Passo 2
O que é o vetor gradiente e como vamos calculá‑lo.
- O vetor gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e a :
- Intuição simples:
mede a taxa de variação de quando só muda (com preso); mede a variação quando só muda (com preso).
Vamos então calcular as duas derivadas parciais explicitamente.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
- Para
tratamos como constante. Escrevendo , a parte que depende de é . - Aplicando a regra de potência (
) obtemos:
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
- Para
tratamos como constante. Escrevendo , a parte que depende de é . - Aplicando a regra de potência em
obtemos:
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Substituindo
e em :
- Substituindo
e em :
Passo 6
Montar o vetor gradiente em
e interpretação rápida.
- O vetor gradiente é a tupla das duas componentes calculadas:
- Interpretação curta: no ponto
a função cresce mais rapidamente na direção cuja componente em é e em é ; a direção do gradiente aponta para o maior aumento de .