Dada a função f(x, y)=3 x^2 y+2 x y^3, pede-se:
a) Determine o vetor gradiente de f;
b) Calcule nabla f(-1,3), nabla f(0,0) e nabla f(-1,2).

Passo 1

A função é f(x,y)=3x^2y+2xy^3. O conteúdo aqui é derivadas parciais e vetor gradiente, pois a gente vai precisar calcular partial fpartial x e partial fpartial y para montar nabla f.

Passo 2

Derivadas parciais: para partial fpartial x fixamos y e derivamos em relação a x, e para partial fpartial y fixamos x e derivamos em relação a y. Calculando:
partial fpartial x=partialpartial x(3x^2y)+partialpartial x(2xy^3)=6xy+2y^3
partial fpartial y=partialpartial y(3x^2y)+partialpartial y(2xy^3)=3x^2+6xy^2

Passo 3

O vetor gradiente é a combinação das duas derivadas:
nabla f(x,y)=l(6xy+2y^3,;3x^2+6xy^2r)
Agora é só substituir cada ponto em nabla f(x,y):

Passo 4

Para (-1,3): substituindo em (6xy+2y^3,3x^2+6xy^2) 6cdot(-1)cdot3+2cdot3^3=-18+54=36 e 3cdot(-1)^2+6cdot(-1)cdot3^2=3-54=-51. Então nabla f(-1,3)=(36,-51).

Passo 5

Para (0,0): 6cdot0cdot0+2cdot0^3=0 e 3cdot0^2+6cdot0cdot0^2=0. Logo nabla f(0,0)=(0,0).

Passo 6

Para (-1,2): 6cdot(-1)cdot2+2cdot2^3=-12+16=4 e 3cdot(-1)^2+6cdot(-1)cdot2^2=3-24=-21. Logo nabla f(-1,2)=(4,-21).

Resposta

nabla f(x,y)=(6xy+2y^3,;3x^2+6xy^2); nabla f(-1,3)=(36,-51), nabla f(0,0)=(0,0), nabla f(-1,2)=(4,-21).

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