Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s=t^3-12 t^2+36 t, t >= 0, em que t é medido em segundos e s, em metros.
Encontre a velocidade no tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move de acordo com a equação do movimento $ s = t^3 - 12t^2 + 36t $, onde $ t $ é o tempo em segundos e $ s $ é a posição em metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dessa partícula em qualquer instante de tempo $ t $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em relação a uma variável, nesse caso, o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade nesse contexto. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, ela mostra quão rápido a partícula está se movendo em um dado momento. Matematicamente, isso significa que a velocidade é a derivada da função posição $ s(t) $ em relação ao tempo $ t $. Então, para encontrar a velocidade, precisamos derivar a equação de posição que temos.

Passo 3

Vamos derivar a função posição $ s(t) = t^3 - 12t^2 + 36t $ em relação a $ t $. Para isso, aplicamos a regra das potências, que diz que a derivada de $ t^n $ é $ n \cdot t^{n-1} $.
  • A derivada de $ t^3 $ é $ 3t^2 $.
  • A derivada de $ -12t^2 $ é $ -24t $.
  • A derivada de $ 36t $ é $ 36 $.
Então, juntando tudo:
s(t) = t^3 - 12t^2 + 36t

Resposta

A velocidade da partícula no tempo $ t $ é dada por:
t

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