Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^2+cos x+(2 x y+e^y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y^2+cos x+(2xy+e^y),dydx=0
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos verificar se ela é exata: escrevemos na forma
M(x,y)+N(x,y),y'=0
com
M(x,y)=y^2+cos x, N(x,y)=2xy+e^y

Passo 2

Para testar exatidão, calculamos
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Então existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x=M(x,y)=y^2+cos x
Integramos em relação a x:
Phi(x,y)=integral(y^2+cos x),dx=xy^2+sin x+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partialPhipartial y=2xy+h'(y)
e igualamos a N(x,y)=2xy+e^y. Logo
h'(y)=e^yRightarrow h(y)=e^y

Passo 5

Substituindo em Phi, a solução geral implícita fica
Phi(x,y)=xy^2+sin x+e^y=C,
onde C é constante de integração.

Resposta

xy^2 + \sin x + e^y = C

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