Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x, ∂ f / ∂ y e ∂ f / ∂ z das funções de três variáveis.

Passo 1

A função é f(x,y,z)=(x3+y2+z)(x y z) e o objetivo é encontrar as derivadas parciais ∂f/∂x, ∂f/∂y e ∂f/∂z. O conteúdo principal envolve a definição de derivada parcial (fixar as outras variáveis) e a regra do produto para funções de várias variáveis.

Passo 2

Definimos u(x,y,z)=x3+y2+z e v(x,y,z)=x y z. Como f=uv, a regra do produto para ∂/∂x diz:
partial fpartial x=partial upartial xcdot v + ucdotpartial vpartial x
Calculamos partial u/partial x=3x^2 e partial v/partial x=y z. Substituindo,
partial fpartial x=3x^2cdot(xyz)+(x^3+y^2+z)cdot(yz)

Passo 3

Agora para ∂f/∂y usamos a mesma ideia:
partial fpartial y=partial upartial ycdot v + ucdotpartial vpartial y
Como partial u/partial y=2y e partial v/partial y=xz,
partial fpartial y=2ycdot(xyz)+(x^3+y^2+z)cdot(xz)

Passo 4

Finalmente, para ∂f/∂z:
partial fpartial z=partial upartial zcdot v + ucdotpartial vpartial z
Como partial u/partial z=1 e partial v/partial z=xy,
partial fpartial z=1cdot(xyz)+(x^3+y^2+z)cdot(xy)

Resposta

partial fpartial x=yz,(4x^3+y^2+z)
partial fpartial y=xz,(x^3+3y^2+z)
partial fpartial z=xy,(x^3+y^2+2z)

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