Dada a função f(x, y)=x^2 yx^4+y^2 encontre o limite, se existir, tomando os seguintes caminhos:
ao longo do eixo y=m x;

Passo 1

Estamos considerando o limite da função f(x,y)=x^2yx^4+y^2 quando (x,y)to(0,0) ao longo da reta y=mx. Esse é um problema de limites em várias variáveis, onde vamos usar substituição de caminho pra verificar se o valor do limite depende de m.

Passo 2

Substituímos y=mx em f. Fica:
f(x,mx)=x^2(mx)x^4+(mx)^2 =m x^3x^4+m^2x^2

Passo 3

Fatoramos x^2 no denominador para simplificar:
m x^3x^2(x^2+m^2) =m xx^2+m^2

Passo 4

Agora calculamos o limite quando xto0. No numerador temos m xto0 e no denominador x^2+m^2to m^2neq0. Portanto o quociente tende a 0.

Passo 5

Concluímos que, ao longo de qualquer reta y=mx, o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) é 0.

Resposta

0

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