Dada a função , determine no ponto :
Calcule a reta normal ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a reta normal ao gráfico dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e geometria analítica, especificamente como calcular a reta normal a uma superfície em um ponto dado.
Passo 2
Para encontrar a reta normal ao gráfico da função no ponto , primeiro precisamos entender que a normal é perpendicular à tangente no ponto considerado. Isso significa que precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto .
Passo 3
Começamos calculando as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos darão as direções das tangentes na superfície.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
O vetor normal à superfície no ponto é dado pelas derivadas parciais e . Assim, o vetor normal é:
Passo 6
Para encontrar a equação da reta normal, usamos o ponto e o vetor normal . A equação paramétrica da reta é:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor normal.