Dada a função f(x, y)=y e^-xy, determine no ponto P(0,2):
Calcule a reta normal ao gráfico de f no ponto P.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a reta normal ao gráfico dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e geometria analítica, especificamente como calcular a reta normal a uma superfície em um ponto dado.

Passo 2

Para encontrar a reta normal ao gráfico da função no ponto , primeiro precisamos entender que a normal é perpendicular à tangente no ponto considerado. Isso significa que precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto .

Passo 3

Começamos calculando as derivadas parciais da função fx = partial fpartial x = partialpartial x ( y e^-xy ) = -y^2 e^-xy em relação a fy = partial fpartial y = partialpartial y ( y e^-xy ) = e^-xy - xy e^-xy e . Essas derivadas nos darão as direções das tangentes na superfície.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto fx(0, 2) = - (2)^2 e^-0 cdot 2 = -4 e^0 = -4 cdot 1 = -4 :
Para fy(0, 2) = e^-0 cdot 2 - 0 cdot 2 e^-0 cdot 2 = e^0 - 0 = 1 - 0 = 1 :
Para :

Passo 5

O vetor normal à superfície no ponto n = ( fx(0, 2), fy(0, 2), -1 ) = (-4, 1, -1) é dado pelas derivadas parciais e . Assim, o vetor normal é:

Passo 6

Para encontrar a equação da reta normal, usamos o ponto x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e o vetor normal . A equação paramétrica da reta é:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor normal.

Passo 7

Substituindo os valores:
x = 0 - 4t y = 2 + t z = f(0, 2) - t
Calculamos f(0, 2) = 2 e^-0 cdot 2 = 2 e^0 = 2 cdot 1 = 2 :
Então, .

Resposta

A equação paramétrica da reta normal ao gráfico de x = -4t y = 2 + t z = 2 - t no ponto é:
Onde é o parâmetro real.

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