Mostre que se
e
for convergente, então
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma sequência de números positivos $ a_n $ e que a soma infinita desses $ a_n $ converge. A gente precisa mostrar que a soma infinita de $ \ln(1 + a_n) $ também converge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e algumas propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ converge e todos os $ a_n > 0 $, isso significa que a soma dos termos $ a_n $ não cresce para o infinito, ela se aproxima de um número finito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão $ \ln(1 + a_n) $. Sabemos que para valores pequenos de $ a_n $, o logaritmo natural pode ser aproximado assim:
Mas como $ a_n $ está somando até um número finito, para simplificar, podemos usar que $ \ln(1 + a_n) $ é menor ou igual a $ a_n $ quando $ a_n > 0 $.
Passo 4
Então, temos que:
Isso é útil porque sabemos que $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ converge. Se cada termo de $ \ln(1 + a_n) $ é menor ou igual a $ a_n $, então a soma de $ \ln(1 + a_n) $ também deve convergir. Isso é uma aplicação do Teste da Comparação, que diz que se $ 0 \leq b_n \leq a_n $ e $ \sum a_n $ converge, então $ \sum b_n $ também converge.
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação, já que $ \ln(1 + a_n) \leq a_n $ e $ \sum a_n $ converge, podemos concluir que:
também converge.
Resposta
Portanto, mostramos que se $ a_n > 0 $ e $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ é convergente, então $ \sum_{n=1}^{\infty} \ln(1 + a_n) $ também converge.