Dada a função f(x, y)=y e^-xy, determine no ponto P(0,2):
A taxa de variação máxima de f e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função e pede para a gente encontrar, no ponto , qual é a taxa de variação máxima dessa função e em que direção ela acontece. Isso tá ligado ao conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção em que a função cresce mais rápido.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a partial fpartial x = partialpartial x ( y e^-xy ) = y cdot (-y) e^-xy = -y^2 e^-xy e a partial fpartial y = partialpartial y ( y e^-xy ) = e^-xy + y cdot (-x) e^-xy = e^-xy - xy e^-xy . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto partial fpartial xg|(0,2) = -2^2 e^-0 cdot 2 = -4 e^0 = -4 :
  • Para partial fpartial yg|(0,2) = e^-0 cdot 2 - 0 cdot 2 e^-0 cdot 2 = e^0 - 0 = 1 em nabla f = ( -4, , 1 ) :
  • Para em :
Então, o gradiente da função no ponto é:

Passo 4

A taxa de variação máxima da função é o módulo do gradiente. Para calcular isso, usamos a fórmula da norma vetorial:
|nabla f| = raiz(-4)^2 + 1^2 = raiz16 + 1 = raiz17
A direção em que essa taxa de variação máxima ocorre é a própria direção do gradiente, ou seja, na direção do vetor .

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .

Exercícios relacionados