Dada a função , determine no ponto :
A taxa de variação máxima de e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função e pede para a gente encontrar, no ponto , qual é a taxa de variação máxima dessa função e em que direção ela acontece. Isso tá ligado ao conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção em que a função cresce mais rápido.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e a . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :
Então, o gradiente da função no ponto é:
Passo 4
A taxa de variação máxima da função é o módulo do gradiente. Para calcular isso, usamos a fórmula da norma vetorial: