Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, especialmente testes de convergência como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Então, consideramos a série .
Passo 3
Para ver se essa nova série sumn=1^infty 2^nn! converge, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries com termos que envolvem fatorial ou exponenciais.
Passo 4
O Teste da Razão diz que, se limn to infty | an+1an | = L e:
L < 1, a série converge absolutamente.
L > 1, a série diverge.
L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série:
an = 2^nn! e an+1 = 2^n+1(n+1)!
Então,
| an+1an | = 2^n+1(n+1)! cdot n!2^n = 2n+1
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 2n+1 = 0
Como 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série sumn=1^infty 2^nn!converge absolutamente.
Passo 6
Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn! também converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn! é absolutamente convergente.