Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, especialmente testes de convergência como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Então, consideramos a série sumn=1^infty | (-1)^n+1 2^nn! | = sumn=1^infty 2^nn!.

Passo 3

Para ver se essa nova série sumn=1^infty 2^nn! converge, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries com termos que envolvem fatorial ou exponenciais.

Passo 4

O Teste da Razão diz que, se limn to infty | an+1an | = L e:
  • L < 1, a série converge absolutamente.
  • L > 1, a série diverge.
  • L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série:
an = 2^nn! e an+1 = 2^n+1(n+1)!
Então,
| an+1an | = 2^n+1(n+1)! cdot n!2^n = 2n+1

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 2n+1 = 0
Como 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série sumn=1^infty 2^nn! converge absolutamente.

Passo 6

Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn! também converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn! é absolutamente convergente.

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