Dada a função
, determine as equações do plano tangente à superfície de nível
no ponto
e a equação da reta normal à esta superfície no mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função de três variáveis
e pede, para a superfície de nível
no ponto
, a equação do plano tangente e da reta normal. Vamos usar o conceito de gradiente para obter a normal à superfície e daí construir o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
pelas derivadas parciais:
Logo,
Passo 3
Avaliamo-lo em
:
Esse vetor é normal `a superf’icie no ponto
.
Passo 4
A equação do plano tangente em
vem de
isto é,
Dividindo por
para simplificar, obtemos
Passo 5
A reta normal passa por
na direção de
. Suas equações paramétricas são
Resposta
Equação do plano tangente:
Equações paramétricas da reta normal: