Dada a função F(x, y, z)=10 x^{2}-3 y^{2}+4 z^{2}, determine as equações do plano tangente à superfície de nível F(x, y, z)=2 no ponto (-1,2,-1) e a equação da reta normal à esta superfície no mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis
F(x,y,z)=10x^{2}-3y^{2}+4z^{2}
e pede, para a superfície de nível F(x,y,z)=2 no ponto (-1,2,-1), a equação do plano tangente e da reta normal. Vamos usar o conceito de gradiente para obter a normal à superfície e daí construir o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F pelas derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}=20x,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=-6y,\quad \frac{\partial F}{\partial z}=8z.
Logo,
\nabla F(x,y,z)=(20x,\,-6y,\,8z).

Passo 3

Avaliamo-lo em P(-1,2,-1):
\nabla F(-1,2,-1) = (20 \cdot (-1),\, -6 \cdot 2,\, 8 \cdot (-1)) = (-20,\, -12,\, -8).
Esse vetor é normal `a superf’icie no ponto P.

Passo 4

A equação do plano tangente em P vem de
\nabla F(P)\cdot\bigl[(x+1),\,(y-2),\,(z+1)\bigr]=0,
isto é,
-20(x+1)-12(y-2)-8(z+1)=0.
Dividindo por -4 para simplificar, obtemos
5x+3y+2z+1=0.

Passo 5

A reta normal passa por P na direção de \nabla F(P). Suas equações paramétricas são
x=-1-20t,\quad y=2-12t,\quad z=-1-8t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Equação do plano tangente:
5x+3y+2z+1=0.
Equações paramétricas da reta normal:
x=-1-20t,\quad y=2-12t,\quad z=-1-8t,\quad t\in\mathbb{R}.

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