Ache as equações simétricas da reta tangente à curva intersecção das superfícies 3 x^2+2 y^2+z^2=49 e x^2+y^2-2 z^2=10 no ponto (3,-3,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de interseção das superfícies dadas por F1(x,y,z)=3x^2+2y^2+z^2-49=0 e F2(x,y,z)=x^2+y^2-2z^2-10=0 no ponto (3,-3,2). O conteúdo é derivadas parciais e produto vetorial: vamos usar que o gradiente de cada superfície é normal a ela, e a direção da reta tangente vale o produto vetorial dos gradientes.

Passo 2

Para achar o gradiente de cada superfície, calculamos as derivadas parciais:
nabla F1(x,y,z)=(6x,,4y,,2z), nabla F2(x,y,z)=(2x,,2y,,-4z)

Passo 3

No ponto (3,-3,2) temos
nabla F1(3,-3,2)=(6cdot3,,4cdot(-3),,2cdot2)=(18,,-12,,4),
nabla F2(3,-3,2)=(2cdot3,,2cdot(-3),,-4cdot2)=(6,,-6,,-8)

Passo 4

A direção da reta tangente é o produto vetorial v=nabla F1(3,-3,2)timesnabla F2(3,-3,2). Calculando componente a componente:
  • Componente i: (-12)cdot(-8)-4cdot(-6)=96+24=120.
  • Componente j: 18cdot(-8)-4cdot6=-144-24=-168, mas no produto vetorial aparece com sinal invertido, dando +168.
  • Componente k: 18cdot(-6)-(-12)cdot6=-108+72=-36.
    Logo v=(120,168,-36), que podemos simplificar dividindo por 12 e obter v=(10,14,-3).

Passo 5

A reta tangente passando por (3,-3,2) e direção (10,14,-3) tem equações simétricas

Resposta

\displaystyle \frac{x-3}{10}=\frac{y+3}{14}=\frac{z-2}{-3}

Exercícios relacionados