Dada a função: F(x, y, z)=4 x^2-y^2+z^2
Desenhe e classifique a superfície de nível S da função F(x, y, z), correspondente à F(x, y, z)=4;

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e classificar a superfície de nível S dada por F(x,y,z)=4 x²–y²+z²=4. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas (segundo grau) e vamos precisar reescrever a equação em forma canônica, comparar sinais dos termos e deduzir o tipo de quádricas.

Passo 2

Começamos reescrevendo a equação e colocando em forma padrão. Dividindo ambos os lados por 4 obtemos:
4x^2 - y^2 + z^2 = 4
x^2 - y^24 + z^24 = 1
que é exatamente uma combinação de dois termos positivos e um negativo.

Passo 3

Quando uma quádricas tem duas variáveis com coeficiente positivo e uma com coeficiente negativo igual a 1, a forma geral é de um hiperbolóide de uma folha. Aqui os termos +x^2 e +z^2/4 são positivos e -y^2/4 é negativo, então S é um hiperbolóide de uma folha. Como o termo negativo envolve y^2, o eixo principal dessa folha é o eixo y.

Passo 4

Para visualizar, note que em cortes transversais temos:
– Plano y=0:
x^2 + z^24 = 1
que é uma elipse no plano xz.
– Plano x=0:
- y^2 + z^24 = 1
é uma hipérbole no plano yz.
Esses cortes confirmam a forma de hiperbolóide de uma folha centrado na origem e simétrico em relação ao eixo y.

Resposta

A superfície S é um hiperbolóide de uma folha, centrado na origem e com eixo principal ao longo do eixo y.

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