Dada a função:
Desenhe e classifique a superfície de nível
da função
, correspondente à
;
Desenhe e classifique a superfície de nível
Passo 1
O enunciado pede para desenhar e classificar a superfície de nível S dada por F(x,y,z)=4 x²–y²+z²=4. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas (segundo grau) e vamos precisar reescrever a equação em forma canônica, comparar sinais dos termos e deduzir o tipo de quádricas.
Passo 2
Começamos reescrevendo a equação e colocando em forma padrão. Dividindo ambos os lados por 4 obtemos:
que é exatamente uma combinação de dois termos positivos e um negativo.
Passo 3
Quando uma quádricas tem duas variáveis com coeficiente positivo e uma com coeficiente negativo igual a 1, a forma geral é de um hiperbolóide de uma folha. Aqui os termos
e
são positivos e
é negativo, então S é um hiperbolóide de uma folha. Como o termo negativo envolve
, o eixo principal dessa folha é o eixo
.
Passo 4
Para visualizar, note que em cortes transversais temos:
– Plano
:
que é uma elipse no plano
.
– Plano
:
é uma hipérbole no plano
.
Esses cortes confirmam a forma de hiperbolóide de uma folha centrado na origem e simétrico em relação ao eixo
.
Resposta
A superfície S é um hiperbolóide de uma folha, centrado na origem e com eixo principal ao longo do eixo y.