Determine o valor de x tal que f(f(x))=1, para f(x)=1x-1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o(s) valor(es) de x que satisfazem f(f(x)) = 1, sendo f(x) = 1x-1. O conteúdo envolve definição de função composta e manipulação de frações.

Passo 2

Aplicando a definição de função composta, substituímos f(x) no lugar de x em f. Assim,
f(f(x)) = 1,f(x) - 1, = 11x-1 - 1

Passo 3

Para encontrar x, igualamos essa expressão a 1 e resolvemos passo a passo:
11x-1 - 1 = 1 Isso implica que o denominador valha 1:
1x-1 - 1 = 1 Então temos
1x-1 = 2 Longrightarrow x-1 = 12 Longrightarrow x = 32

Passo 4

Agora verificamos as restrições de domínio: x não pode ser 1 (para f(x) existir) e f(x) não pode ser 1 (para f(f(x)) existir), o que exclui x = 1 e x = 2. A solução x = 3/2 não viola essas restrições, portanto é válida.

Resposta

x = 32

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