Dada a função
, pede-se:
a) Determine o vetor gradiente de
;
b) Calcule
e
.
a) Determine o vetor gradiente de
b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o vetor gradiente de uma função de três variáveis, ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois avalie esse gradiente em três pontos:
,
e
. Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando cada variável isoladamente e considerando as outras como constantes.
Passo 2
Para obter
, derivamos
em relação a
mantendo
e
fixos. O termo
gera
, o termo
gera
e o termo
some. Analogamente, para
derivamos em relação a
e obtemos
. Para
derivamos em relação a
e chegamos a
.
Com isso, o vetor gradiente fica:
Com isso, o vetor gradiente fica:
Passo 3
Agora basta substituir os pontos pedidos na expressão do gradiente. Para
temos:
Passo 4
Para
a maioria dos termos some, sobrando apenas o
na componente
:
Passo 5
Para
fazemos do mesmo jeito:
Resposta
a)
b) ,
,
.
b)