Dada a função f(x, y, z)=5 x^2 y^2 z^2+2 x y-z, pede-se:
a) Determine o vetor gradiente de f;
b) Calcule nabla f(1,2,3), nabla f(0,0,0) e nabla f(-1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o vetor gradiente de uma função de três variáveis, ou seja, as derivadas parciais de f(x,y,z)=5x^2y^2z^2+2xy-z em relação a x, y e z, e depois avalie esse gradiente em três pontos: (1,2,3), (0,0,0) e (-1,2,1). Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando cada variável isoladamente e considerando as outras como constantes.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, derivamos f em relação a x mantendo y e z fixos. O termo 5x^2y^2z^2 gera 10xy^2z^2, o termo 2xy gera 2y e o termo -z some. Analogamente, para partial fpartial y derivamos em relação a y e obtemos 10x^2yz^2+2x. Para partial fpartial z derivamos em relação a z e chegamos a 10x^2y^2z-1.
Com isso, o vetor gradiente fica:
nabla f(x,y,z)=l(10xy^2z^2+2y,;10x^2yz^2+2x,;10x^2y^2z-1r)

Passo 3

Agora basta substituir os pontos pedidos na expressão do gradiente. Para (1,2,3) temos:
10cdot1cdot2^2cdot3^2+2cdot2=364,10cdot1^2cdot2cdot3^2+2cdot1=182,10cdot1^2cdot2^2cdot3-1=119

Passo 4

Para (0,0,0) a maioria dos termos some, sobrando apenas o -1) na componente z:
0,;0,;-1

Passo 5

Para (-1,2,1) fazemos do mesmo jeito:
10cdot(-1)cdot2^2cdot1^2+2cdot2=-36,10cdot(-1)^2cdot2cdot1^2+2cdot(-1)=18,10cdot(-1)^2cdot2^2cdot1-1=39

Resposta

a) nabla f(x,y,z)=(10xy^2z^2+2y,;10x^2yz^2+2x,;10x^2y^2z-1)
b) nabla f(1,2,3)=(364,182,119), nabla f(0,0,0)=(0,0,-1), nabla f(-1,2,1)=(-36,18,39).

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