Exercício 6 Dê os domínios e esboce os gráficos de f+g e gf:
f(x)=x e g(x)=x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os domínios e esboçarmos os gráficos de f+g e tfracgf, onde f(x)=x e g(x)=x^2-1. Vamos usar teoria de domínios de soma e quociente de funções, além de noções de gráficos de parábolas e funções racionais.

Passo 2

Para a soma, o domínio de f+g é a interseção dos domínios de f e g. Como f e g estão definidas em todo R, temos:
Dom(f+g)=R

Passo 3

Para o quociente, o domínio de tfracgf exige que f(x)neq0. Como f(x)=x, excluímos x=0. Assim:
Doml(tfracgfr)=Rsetminus0

Passo 4

Calculamos agora a expressão de f+g:
(f+g)(x)=x+(x^2-1)=x^2+x-1
Essa é uma parábola com coeficiente a=1>0, ou seja, concavidade para cima. Vamos achar seu vértice e raízes para esboçar o gráfico:
O vértice (xv,yv) satisfaz xv=-tfracb2a com a=1 e b=1, logo xv=-tfrac12. Substituindo:
yv=(-tfrac12)^2+(-tfrac12)-1=tfrac14-tfrac12-1=-tfrac54
As raízes vêm de x^2+x-1=0, cujas soluções são x=tfrac-1pmraiz52. Com isso, podemos esboçar a parábola passando pelo vértice e interceptando o eixo x nessas raízes.

Passo 5

Agora calculamos o quociente g/f:
g(x)f(x)=x^2-1x=x-1x
Para esboçar essa função racional, identificamos:
– Assíntota vertical onde o denominador zera: x=0.
– Assíntota oblíqua obtida pela divisão de polinômios: y=x.
– Zeros quando o numerador zera: x^2-1=0 em x=pm1.
– Comportamento: para xto0^+, yto-infty; para xto0^-, yto+infty; e para |x| grande, yapprox x.
Com essas informações, desenha-se o gráfico de y=x-1/x respeitando as assíntotas e pontos-chave.

Resposta

Domínio de f+g: R. Gráfico: parábola y=x^2+x-1 com vértice em (-tfrac12,-tfrac54) e raízes em tfrac-1pmraiz52.
Domínio de tfracgf: Rsetminus0. Gráfico: função racional y=x^2-1x=x-1x com assíntota vertical em x=0, assíntota oblíqua em y=x e zeros em x=pm1.

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