Exercício 6 Dê os domínios e esboce os gráficos de
:
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os domínios e esboçarmos os gráficos de
e
, onde
e
. Vamos usar teoria de domínios de soma e quociente de funções, além de noções de gráficos de parábolas e funções racionais.
Passo 2
Para a soma, o domínio de
é a interseção dos domínios de
e
. Como
e
estão definidas em todo
, temos:
Passo 3
Para o quociente, o domínio de
exige que
. Como
, excluímos
. Assim:
Passo 4
Calculamos agora a expressão de
:
Essa é uma parábola com coeficiente
, ou seja, concavidade para cima. Vamos achar seu vértice e raízes para esboçar o gráfico:
O vértice satisfaz
com
e
, logo
. Substituindo:
O vértice
As raízes vêm de
, cujas soluções são
. Com isso, podemos esboçar a parábola passando pelo vértice e interceptando o eixo
nessas raízes.
Passo 5
Agora calculamos o quociente
:
Para esboçar essa função racional, identificamos:
– Assíntota vertical onde o denominador zera: .
– Assíntota oblíqua obtida pela divisão de polinômios: .
– Zeros quando o numerador zera: em
.
– Comportamento: para ,
; para
,
; e para
grande,
.
Com essas informações, desenha-se o gráfico de respeitando as assíntotas e pontos-chave.
– Assíntota vertical onde o denominador zera:
– Assíntota oblíqua obtida pela divisão de polinômios:
– Zeros quando o numerador zera:
– Comportamento: para
Com essas informações, desenha-se o gráfico de
Resposta
Domínio de
:
. Gráfico: parábola
com vértice em
e raízes em
.
Domínio de
:
. Gráfico: função racional
com assíntota vertical em
, assíntota oblíqua em
e zeros em
.