Dada a função g: R--1,1 R g(x)=x^2x^2-1 determine:
Os extremos relativos (máximos e mínimos relativos);

Passo 1

O enunciado dá a função g: Rsetminus-1,1toR definida por g(x)=x^2x^2-1. Vamos precisar de cálculo de derivada (regra do quociente) e análise de sinal de g'(x) para achar os extremos relativos.

Passo 2

Para derivar usamos a regra do quociente: se g(x)=u(x)v(x), então g'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2. Aqui u(x)=x^2 e v(x)=x^2-1.
Calculando as derivadas parciais temos u'(x)=2x e v'(x)=2x. Assim
g'(x)=2x,(x^2-1)-x^2,2x(x^2-1)^2=2x^3-2x-2x^3(x^2-1)^2=-2x(x^2-1)^2

Passo 3

O único ponto onde g'(x)=0 dentro do domínio é x=0. Note que o denominador (x^2-1)^2>0 sempre que xneqpm1, então o sinal de g'(x) é dado por -2x: para x<0, g'(x)>0 (função crescente) e para x>0, g'(x)<0 (função decrescente).
Como g' muda de positivo para negativo em x=0, temos um máximo relativo em x=0. O valor é
g(0)=0^20^2-1=0 Não há outros pontos críticos, logo não existem mínimos relativos.

Resposta

Máximo relativo em x=0 com valor g(0)=0. Não há mínimos relativos.

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