Dada a função g: R--1,1 R g(x)=x^2x^2-1 determine:
O(s) intervalo(s) onde é côncava para cima;

Passo 1

Estamos com a função g: Rsetminus-1,1to R, definida por g(x)=x^2x^2-1. O objetivo é achar onde ela é côncava para cima, ou seja onde g''(x)>0.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada primeira usando a regra do quociente:
g'(x)=(2x)(x^2-1)-x^2(2x)(x^2-1)^2

Passo 3

Simplificando o numerador:
(2x^3-2x)-(2x^3)= -2x

Passo 4

Portanto
g'(x)=-2x(x^2-1)^2

Passo 5

Agora derivamos g'(x)=-2x,(x^2-1)^-2. Usando produto e cadeia:
g''(x)=-2,(x^2-1)^-2+(-2x)cdot(-2),(x^2-1)^-3cdot(2x)

Passo 6

Organizando e colocando sobre o mesmo denominador (x^2-1)^3), obtemos:
g''(x)=-2(x^2-1)+8x^2(x^2-1)^3=6x^2+2(x^2-1)^3

Passo 7

Note que o numerador 6x^2+2=2(3x^2+1) é sempre positivo. Assim o sinal de g''(x) é o de (x^2-1)^3. Para g''(x)>0 precisamos de x^2-1>0, i.e., |x|>1.

Resposta

(-infty,-1) e (1,infty)

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