Dada a função g: R--1,1 R g(x)=x^2x^2-1 determine:
O(s) ponto(s) de inflexão (se existir);

Passo 1

O exercício pede os pontos de inflexão de g(x)= x^2x^2-1, cujo domínio é Rsetminus-1,1. Para achar inflexões, vamos precisar da segunda derivada e do estudo de concavidade.

Passo 2

Calcular a primeira derivada usando quociente: seja u(x)=x^2 e v(x)=x^2-1. Então
g'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=2x(x^2-1)-x^2cdot2x(x^2-1)^2=-2x(x^2-1)^2

Passo 3

Agora derivamos g'(x)= -2x(x^2-1)^-2 e usamos regra do produto/ cadeia:
g''(x)=ddxl(-2xr)cdot(x^2-1)^-2+(-2x)cdotddx(x^2-1)^-2 = 2(3x^2+1)(x^2-1)^3

Passo 4

Como o numerador 2(3x^2+1)>0 para todo x, o sinal de g''(x) é o mesmo de (x^2-1)^3. Logo
  • Para |x|>1, x^2-1>0 e g''(x)>0 (concavidade voltada para cima).
  • Para |x|<1, x^2-1<0 e g''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 5

Não há solução de g''(x)=0 dentro do domínio e os pontos onde g'' deixa de existir ( x=pm1) não pertencem ao domínio. Portanto, não há troca de concavidade em nenhum ponto válido.

Passo 6

Concluímos que g não possui pontos de inflexão no seu domínio.

Resposta

A função g não apresenta pontos de inflexão em Rsetminus-1,1.

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