Dada a função g: R--1,1 R g(x)=x^2x^2-1 determine:
O(s) intervalo(s) onde é côncava para baixo;

Passo 1

O enunciado pede pra achar onde a função é côncava para baixo, ou seja, onde sua segunda derivada é negativa. O conteúdo aqui é teste de concavidade, e vamos precisar de derivadas (primeira e segunda) usando regra do quociente e análise de sinal.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada usando regra do quociente. Temos
g(x)=x^2x^2-1
Aplicando a regra do quociente:
g'(x)=2x,(x^2-1)-x^2,(2x)(x^2-1)^2=2x^3-2x-2x^3(x^2-1)^2=-2x(x^2-1)^2

Passo 3

Agora derivamos de novo para obter a segunda derivada. Vamos tratar
g'(x)=-2x,(x^2-1)^-2 como produto e usar a regra do produto e cadeia. Isso dá
g''(x)=-2,(x^2-1)^-2+(-2x)cdot(-2)cdot2x,(x^2-1)^-3=-2(x^2-1)^2+8x^2(x^2-1)^3

Passo 4

Colocando no mesmo denominador,
g''(x)=-2(x^2-1)+8x^2(x^2-1)^3=6x^2+2(x^2-1)^3=23x^2+1(x^2-1)^3

Passo 5

Para determinar concavidade, observamos o sinal de
g''(x)=23x^2+1(x^2-1)^3 O numerador é sempre positivo (pois 3x^2+1>0). Assim, o sinal de g''(x) vem só de (x^2-1)^3:
- Se |x|>1, então x^2-1>0 e g''(x)>0 (côncava para cima).
- Se |x|<1, então x^2-1<0 e g''(x)<0 (côncava para baixo).

Passo 6

Como a função não está definida em x=pm1, o único intervalo de concavidade para baixo é
(-1,1).

Resposta

(-1,1)

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