Dada a função
determine:
intervalo(s) onde é crescente;
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os intervalos em que a função g(x)=
está crescendo. O conteúdo principal aqui é estudar monotonidade de função usando derivada. Vamos precisar derivar g(x), achar onde g′(x)=0 ou é indefinida e analisar o sinal de g′(x).
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de g(x) usando a regra do quociente. Seja g(x)=
com u(x)=
e v(x)=
. Então
Passo 3
A partir de g’(x)=
, vemos que o denominador é sempre positivo pra x≠±1, então o sinal de g’(x) vem só de -2x. Logo g’(x)>0 quando -2x>0 ⇔ x<0. E g’(x)<0 quando x>0. A derivada é zero em x=0 e indefinida em x=±1.
Passo 4
Como a função não está definida em x=±1, o domínio se quebra em quatro intervalos: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) e (1, ∞). Como g’(x)>0 pra todo x<0, concluímos que g é crescente nos intervalos (-∞, -1) e (-1, 0).
Resposta
g é crescente em (-∞, -1) e em (-1, 0).