Dada a função g: R--1,1 R g(x)=x^2x^2-1 determine:
O(s) intervalo(s) onde é crescente;

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os intervalos em que a função g(x)= x^2x^2-1 está crescendo. O conteúdo principal aqui é estudar monotonidade de função usando derivada. Vamos precisar derivar g(x), achar onde g′(x)=0 ou é indefinida e analisar o sinal de g′(x).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de g(x) usando a regra do quociente. Seja g(x)= u(x)v(x) com u(x)= x^2 e v(x)= x^2-1. Então
g'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=2x(x^2-1)-x^2cdot2x(x^2-1)^2=2x^3-2x-2x^3(x^2-1)^2=-2x(x^2-1)^2

Passo 3

A partir de g’(x)= -2x(x^2-1)^2, vemos que o denominador é sempre positivo pra x≠±1, então o sinal de g’(x) vem só de -2x. Logo g’(x)>0 quando -2x>0 ⇔ x<0. E g’(x)<0 quando x>0. A derivada é zero em x=0 e indefinida em x=±1.

Passo 4

Como a função não está definida em x=±1, o domínio se quebra em quatro intervalos: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) e (1, ∞). Como g’(x)>0 pra todo x<0, concluímos que g é crescente nos intervalos (-∞, -1) e (-1, 0).

Resposta

g é crescente em (-∞, -1) e em (-1, 0).

Exercícios relacionados