Um corpo à temperatura de 50^circ F é colocado em um forno cuja temperatura é mantida a 150^circ F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 75^circ F, determine o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 100^circ F.

Passo 1

Resumindo o problema: temos um corpo que parte de temperatura inicial T0 = 50^circF e é colocado em um forno mantido a temperatura constante Ts = 150^circF. Após 10 minutos, a temperatura do corpo chega a 75^circF. Queremos saber quanto tempo leva para o corpo atingir 100^circF. O conteúdo aqui é a Lei de Resfriamento de Newton, que modela a variação de temperatura por uma EDO.

Passo 2

O modelo matemático da Lei de Newton é dado por
dTdt = -kl(T - Tsr)
onde k>0 é a constante de resfriamento. A solução geral dessa EDO é
T(t) = Ts + l(T0 - Tsr)e^-k t

Passo 3

Agora usamos a condição T(10)=75^circF para achar k. Substituindo:
75 = 150 + (50 - 150)e^-10 k = 150 - 100 e^-10 k
Isolando o termo exponencial:
-75 = -100 e^-10 k Longrightarrow e^-10 k = 0.75
Logo,
k = -110ln(0.75)

Passo 4

Para encontrar o tempo t em que T(t)=100^circF, fazemos:
100 = 150 - 100 e^-k t Longrightarrow -50 = -100 e^-k t Longrightarrow e^-k t = 0.5
Tomando logaritmo:
-k t = ln(0.5) Longrightarrow t = -1kln(0.5) = ln(2)k

Passo 5

Só falta calcular numericamente. Primeiro, de e^-10k=0.75 vem k = -tfrac110ln(0.75) approx 0.02877. Então
t = ln(2)0.02877 approx 24.1,minutos

Resposta

Aproximadamente 24,1 minutos.

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