Dada a função g: R--1,1 R g(x)=x^2x^2-1 determine:
0 (s) intervalo(s) onde é decrescente;

Passo 1

Temos a função g: Rsetminus-1,1toR, definida por g(x)=x^2x^2-1. Queremos saber em que intervalos ela é decrescente. Vamos usar o conceito de derivada para estudar a monotonicidade.

Passo 2

Usando a regra do quociente, calculamos a derivada:
g'(x)=(2x)(x^2-1)-x^2cdot(2x)(x^2-1)^2 = 2x^3-2x-2x^3(x^2-1)^2 = -2x(x^2-1)^2

Passo 3

Observamos que (x^2-1)^2>0 para todo xneqpm1. Logo o sinal de g'(x) é o mesmo do numerador -2x. Portanto:
  • g'(x)<0 se e somente se -2x<0), ou seja, x>0.
  • g'(x)>0 se e somente se x<0.
    Assim, g é decrescente sempre que x>0.

Passo 4

Como o domínio exclui x=1, os trechos de x>0 se dividem em (0,1) e (1,infty). Portanto, g é decrescente em ambos esses intervalos.

Resposta

(0,1) e (1,infty)

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