Determine a função inversa em cada caso:
a) f(x)=1x(f: R^* R^*).
b) h(x)=x^3-1.
c) f(x)=2 x+1x-1(f: R-1 R-2).
d) g(x)=1x+1(f: R-1 R^*).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a função inversa de quatro aplicações diferentes. O conteúdo envolvido é o de função inversa, que consiste em, dada uma função y=f(x), resolver para x em função de y e depois trocar y por x. Vou usar manipulação algébrica para isolar x.

Passo 2

Para (a), seja y=tfrac1x. Invertendo a relação, temos y=1/x implica xy=1, de onde x=1/y. Logo, trocando y por x, obtemos f^-1(x)=1/x.

Passo 3

Para (b), seja y=x^3-1. Então y+1=x^3, o que dá x=(y+1)^1/3. Substituindo y por x, resulta h^-1(x)=raiz[3]x+1.

Passo 4

Para ©, seja y=2x+1x-1. Multiplicando, y(x-1)=2x+1 leva a yx-y=2x+1, logo yx-2x=y+1 e x(y-2)=y+1. Assim x=(y+1)/(y-2). Trocando y por x, obtemos f^-1(x)=x+1x-2.

Passo 5

Para (d), seja y=tfrac1x+1. Daí y(x+1)=1 x+1=1/y e x=1/y-1=(1-y)/y. Substituindo y por x, fica $g^{-1}(x)=\frac{1-x}{x}.

Resposta

a) f^-1(x)=1x
b) h^-1(x)=raiz[3]x+1
c) f^-1(x)=x+1x-2
d) g^-1(x)=1-xx

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