Determine para quais valores de x a inversa da função f(x)=x^3+x é diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x em que a inversa de f(x)=x^3+x é diferenciável. O conteúdo principal é o Teorema da Função Inversa, e para aplicá-lo precisamos checar se f é de classe C^1 e se f'(x)neq0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f:
f'(x)=3x^2+1
Note que 3x^2+1>0 para todo xinR. Assim, f é C^1, estritamente crescente e bijetora, e nunca possui derivada nula.

Passo 3

O Teorema da Função Inversa diz que se f é C^1 num ponto x0 e f'(x0)neq0, então f^-1 é diferenciável em f(x0). Como vimos que f'(x) é sempre não nulo, concluímos que f^-1 é diferenciável para todo valor de x.

Resposta

A inversa de f(x)=x^3+x é diferenciável para todo xinR.

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