Determine para quais valores de
a inversa da função
é diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
em que a inversa de
é diferenciável. O conteúdo principal é o Teorema da Função Inversa, e para aplicá-lo precisamos checar se
é de classe
e se
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
:
Note que
para todo
. Assim,
é
, estritamente crescente e bijetora, e nunca possui derivada nula.
Passo 3
O Teorema da Função Inversa diz que se
é
num ponto
e
, então
é diferenciável em
. Como vimos que
é sempre não nulo, concluímos que
é diferenciável para todo valor de
.
Resposta
A inversa de
é diferenciável para todo
.