É dada a função horária da elongação: x=3 cos (5 pi t+pi / 4). Qual o período do movimento descrito por esta função?
A. 0,4 s
B. 0,5 s
C. 3,0 s
D. 4,0 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a posição de um objeto ao longo do tempo: $ x = 3 \cos (5 \pi t + \frac{\pi}{4}) $. O desafio é descobrir qual é o período desse movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas que descrevem movimentos oscilatórios, especificamente como identificar o período a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral de uma função cosseno para movimentos harmônicos:
x(t) = A cos (omega t + phi)
Aqui:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial,
  • $ t $ é o tempo.
No nosso caso, a função é $ x = 3 \cos (5 \pi t + \frac{\pi}{4}) $. Comparando com a forma geral, vemos que:
  • $ A = 3 $,
  • $ \omega = 5 \pi $,
  • $ \phi = \frac{\pi}{4} $.

Passo 3

Agora, para encontrar o período do movimento, que é o tempo que o objeto leva para completar uma oscilação completa, usamos a relação entre o período ($ T T ê \omega $):
omega
Essa fórmula nos diz que o período é igual a $ 2\pi $ dividido pela frequência angular.

Passo 4

Substituindo o valor de $ \omega $ na fórmula:
omega
O $ \pi $ no numerador e denominador se cancelam:
T = 2pi5pi

Passo 5

Convertendo a fração para decimal:
T = 0,4 segundos

Resposta

O período do movimento descrito pela função é 0,4 s. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

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