É dada a função horária da elongação:
. Qual o período do movimento descrito por esta função?
A. 0,4 s
B.
C.
D.
A. 0,4 s
B.
C.
D.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a posição de um objeto ao longo do tempo: $ x = 3 \cos (5 \pi t + \frac{\pi}{4}) $. O desafio é descobrir qual é o período desse movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas que descrevem movimentos oscilatórios, especificamente como identificar o período a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma geral de uma função cosseno para movimentos harmônicos:
Aqui:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial,
- $ t $ é o tempo.
No nosso caso, a função é $ x = 3 \cos (5 \pi t + \frac{\pi}{4}) $. Comparando com a forma geral, vemos que:
- $ A = 3 $,
- $ \omega = 5 \pi $,
- $ \phi = \frac{\pi}{4} $.
Passo 3
Agora, para encontrar o período do movimento, que é o tempo que o objeto leva para completar uma oscilação completa, usamos a relação entre o período ($ T
\omega $):
Essa fórmula nos diz que o período é igual a $ 2\pi $ dividido pela frequência angular.
Passo 4
Substituindo o valor de $ \omega $ na fórmula:
O $ \pi $ no numerador e denominador se cancelam:
Passo 5
Convertendo a fração para decimal:
Resposta
O período do movimento descrito pela função é 0,4 s. Portanto, a alternativa correta é a letra A.