é dada uma função em um intervalo 0.
(a) Esboce os gráficos das extensões periódicas par g(x) e ímpar h(x) de períodos 2 L da função dada em um intervalo de três períodos.
(b) Encontre as séries de Fourier em co-senos e senos da função dada.
© Faça os gráficos de algumas das somas parciais de cada série.
(d) Para cada série, investigue a dependência em n do erro máximo em [0, L].

Passo 1

A função dada é f(x)=4x^2-4x-34=x^2 - x -tfrac34 no intervalo 0. Vamos trabalhar com extensão periódica de período 2L=4, sendo aqui L=2. Para expandir em cossenos (extensão par) e em senos (extensão ímpar), precisaremos usar as fórmulas de coeficientes de Fourier em [0,L]:
  • Série em cossenos: f(x)=a02+sumn=1^infty ancosl(tfracnpi xLr), com an=2Lintegral0^L f(x)cosl(tfracnpi xLr),dx.
  • Série em senos: f(x)=sumn=1^infty bnsinl(tfracnpi xLr), com bn=2Lintegral0^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx.

Passo 2

Para montar o esboço de três períodos (parte a), lembramos que:
  • Extensão par g(x): espelhamos f(x) em x=0 e depois repetimos com período 4.
  • Extensão ímpar h(x): refletimos f(x) em x=0 trocando sinal e repetimos com período 4.
    Em cada caso, desenhe f(x) em (0,2), copie o arco refletido em (-2,0) (par) ou invertido em altura (ímpar) e repita esses dois intervalos para cobrir três períodos.

Passo 3

Agora calculamos os coeficientes do desenvolvimento em cossenos ( L=2 implica 2/L=1). Primeiro:
a0=2Lintegral0^L f(x),dx=1integral0^2(x^2-x-tfrac34),dx=-tfrac56
Para n>=1:
an=integral0^2(x^2-x-tfrac34)cosl(tfracnpi x2r)dx =4l(3(-1)^n+1r)n^2pi^2

Passo 4

Para o desenvolvimento em senos, também com L=2:
bn=integral0^2(x^2-x-tfrac34)sinl(tfracnpi x2r)dx =-5(-1)^n+32npi+16,(-1)^n-16n^3pi^3
Obtemos assim a série em senos (ímpares).

Passo 5

Para a parte ©, basta plotar algumas somas parciais SN(x) de cada série (por exemplo N=1,3,5) e observar que elas aproximam bem f(x) em [0,2], com oscilações maiores perto das descontinuidades das extensões.

Passo 6

Na parte (d), vemos que an=O(1/n^2) e bn=O(1/n) mais um termo O(1/n^3). Logo o erro máximo na aproximação por N termos cai como O(1/N^2) para a série de cossenos e como O(1/N) dominado pelo termo 1/n na série de senos.

Passo 7

Passo 8

Resposta

(a) Extensão par: repetir em (0,2) o espelho sem mudar sinal em (-2,0) e replicar com período 4. Extensão ímpar: repetir em (0,2) o espelho com sinal trocado em (-2,0) e replicar com período 4.
(b) Série em cossenos ( L=2):
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr),\quad a_0=-\tfrac{5}{6},\quad a_n=\frac{4\bigl(3(-1)n+1\bigr)}{n2\pi^2}.
f(x)=a02+sumn=1^infty ancosl(npi x2r), a0=-tfrac56, an=4l(3(-1)^n+1r)n^2pi^2 éíf(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr),\quad b_n=-\frac{5(-1)n+3}{2n\pi}+\frac{16,(-1)n-16}{n3\pi3}.
$$
© As somas parciais f(x)=sumn=1^infty bnsinl(npi x2r), bn=-5(-1)^n+32npi+16,(-1)^n-16n^3pi^3 para SN(x) aproximam N=1,3,5,dots em f(x), com Gibbs próximo às descontinuidades.
(d) O erro máximo em [0,2] decai como [0,2] na série de cossenos e como O(1/N^2) na série de senos.

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