é dada uma função em um intervalo
.
(a) Esboce os gráficos das extensões periódicas par
e ímpar
de períodos
da função dada em um intervalo de três períodos.
(b) Encontre as séries de Fourier em co-senos e senos da função dada.
© Faça os gráficos de algumas das somas parciais de cada série.
(d) Para cada série, investigue a dependência em
do erro máximo em
.
(a) Esboce os gráficos das extensões periódicas par
(b) Encontre as séries de Fourier em co-senos e senos da função dada.
© Faça os gráficos de algumas das somas parciais de cada série.
(d) Para cada série, investigue a dependência em
Passo 1
A função dada é
no intervalo
. Vamos trabalhar com extensão periódica de período
, sendo aqui
. Para expandir em cossenos (extensão par) e em senos (extensão ímpar), precisaremos usar as fórmulas de coeficientes de Fourier em
:
- Série em cossenos:
, com . - Série em senos:
, com .
Passo 2
Para montar o esboço de três períodos (parte a), lembramos que:
- Extensão par
: espelhamos em e depois repetimos com período . - Extensão ímpar
: refletimos em trocando sinal e repetimos com período .
Em cada caso, desenheem , copie o arco refletido em (par) ou invertido em altura (ímpar) e repita esses dois intervalos para cobrir três períodos.
Passo 3
Agora calculamos os coeficientes do desenvolvimento em cossenos (
implica
). Primeiro:
Para
:
Passo 4
Para o desenvolvimento em senos, também com
:
Obtemos assim a série em senos (ímpares).
Passo 5
Para a parte ©, basta plotar algumas somas parciais
de cada série (por exemplo
) e observar que elas aproximam bem
em
, com oscilações maiores perto das descontinuidades das extensões.
Passo 6
Na parte (d), vemos que
e
mais um termo
. Logo o erro máximo na aproximação por
termos cai como
para a série de cossenos e como
dominado pelo termo
na série de senos.
Passo 7
Passo 8
Resposta
(a) Extensão par: repetir em
o espelho sem mudar sinal em
e replicar com período 4. Extensão ímpar: repetir em
o espelho com sinal trocado em
e replicar com período 4.
(b) Série em cossenos ( ):
(b) Série em cossenos (
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr),\quad a_0=-\tfrac{5}{6},\quad a_n=\frac{4\bigl(3(-1)n+1\bigr)}{n2\pi^2}.
$$
© As somas parciais para
aproximam
em
, com Gibbs próximo às descontinuidades.
(d) O erro máximo em decai como
na série de cossenos e como
na série de senos.
© As somas parciais
(d) O erro máximo em