Dada a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right., determinar f_{x}(0,0), f_{y}(0,0), \quad \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}(x, y) e \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}(x, y). Verificar, justificando com linguagem simbólica, se f(x, y) é contínua em R^{2}.
Obs.: Mostrar se determinas funções são limitadas. Não basta a afirmação.
que diverge para +\infty quando y\to0. Isso mostra que f_x(x,y) não tem limite finito quando (x,y)\to(0,0) e ainda que f_x é não limitada (tende a +\infty) ao aproximar-se da origem pela reta x=0.
Para f_y vamos usar a parametrização geral x=a y^{2} (para a fixo real). Substituindo em f_y (com y\neq0):
Se a\notin\{0,\pm1\} o fator multiplicativo é não nulo, e então f_y(a y^{2},y) diverge em módulo quando y\to0 (tende a \pm\infty dependendo do sinal do fator). Por exemplo, para a=2 obtém-se um comportamento como constante dividido por y, que diverge. Para a=1 ou a=0 obtém-se zero (casos especiais já vistos).
Conclusões deste passo:
f_x(x,y) assume valores que se aproximam de 0 ao longo de x=y^{2}, mas diverge para +\infty ao longo de x=0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)\quad\text{não existe (e \(f_x\) é não limitada perto da origem).}ãéã
f_y(x,y) assume 0 ao longo de x=y^{2}, mas diverge ao longo de curvas x=a y^{2} para muitos valores de a. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y)\quad\text{não existe (e \(f_y\) é não limitada perto da origem).}ãéã
Passo 5
Verificação da continuidade de f em \mathbb{R}^2 e boundedness de f.
A função g(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+1} satisfaz |g(t)|\le1 para todo t\in\mathbb{R} (isto segue porque t^{2}+1\ge 2|t|, logo \dfrac{2|t|}{t^{2}+1}\le1). Para y=0 temos f(x,0)=0. Assim, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 existe
|f(x,y)|\le1.
Portanto f é uma função limitada globalmente (por exemplo |f|\le1).
Continuidade em (0,0).
Se f fosse contínua em (0,0) teríamos \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0. Mas ao aproximar a origem pela curva x=y^{2} (com y\to0) obtemos, como já calculado,
logo \lim_{y\to0} f(y^{2},y)=1\neq0. Assim o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) depende do caminho; em particular não é igual a 0. Portanto f não é contínua em (0,0).
Continuidade fora da origem.
Para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^{2}+y^{4} é positivo e f é razão de polinômios sem singularidade local, logo f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Combinando com o que foi mostrado, concluímos que f não é contínua em toda \mathbb{R}^{2} (falha apenas na origem).
Resposta
f_x(0,0)=0
f_y(0,0)=0
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) não existe (além disso f_x é não limitada perto de (0,0))
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y) não existe (além disso f_y é não limitada perto de (0,0))
f é limitada (|f(x,y)|\le1 para todo (x,y)), mas f não é contínua em \mathbb{R}^{2} (falha em (0,0)); f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.