Dada a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right., determinar f_{x}(0,0),
f_{y}(0,0), \quad \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}(x, y) e \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}(x, y). Verificar, justificando com linguagem simbólica, se f(x, y) é contínua em R^{2}.
Obs.: Mostrar se determinas funções são limitadas. Não basta a afirmação.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O que se pede explicitamente:
  • Determinar \,f_{x}(0,0)\, (derivada parcial em x no ponto (0,0)).
  • Determinar \,f_{y}(0,0)\, (derivada parcial em y no ponto (0,0)).
  • Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_{x}(x,y).
  • Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_{y}(x,y).
  • Verificar, com justificativa simbólica, se f é contínua em \mathbb{R}^2.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A definição de f é racional (fração de polinômios) fora da origem e vale 0 na origem.
  • Foi pedido também, na observação, que se mostre se certas funções são limitadas (isto será tratado para f, f_x e f_y).]

Passo 2

Cálculo de f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) pela definição de derivada parcial.
Lembrete: a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e x\neq0 temos \,f(x,0)=\dfrac{2x\cdot0^{2}}{x^{2}+0^{4}}=0. Logo para todo h\neq0
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0.
Portanto
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}0=0.
Analogamente, a derivada parcial em y é
f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para x=0 e k\neq0 tem-se f(0,k)=\dfrac{2\cdot0\cdot k^{2}}{0^{2}+k^{4}}=0. Logo
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0,
e assim
f_y(0,0)=0.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (x,y)\neq(0,0) por diferenciação da razão (regra do quociente).
Defina N(x,y)=2x y^{2} e D(x,y)=x^{2}+y^{4}. Então para (x,y)\neq(0,0):
N_x=2y^{2},\qquad D_x=2x,
N_y=4xy,\qquad D_y=4y^{3}.
Usando a regra do quociente,
f_x(x,y)=\frac{N_x D - N D_x}{D^{2}} =\frac{2y^{2}(x^{2}+y^{4})-(2x y^{2})(2x)}{(x^{2}+y^{4})^{2}}.
Expandindo e simplificando:
2y^{2}x^{2}+2y^{6}-4x^{2}y^{2}=2y^{2}(y^{4}-x^{2}),
portanto
\boxed{\,f_x(x,y)=\dfrac{2y^{2}\,(y^{4}-x^{2})}{(x^{2}+y^{4})^{2}}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).\,}
De forma análoga,
f_y(x,y)=\frac{N_y D - N D_y}{D^{2}} =\frac{4xy(x^{2}+y^{4})-(2x y^{2})(4y^{3})}{(x^{2}+y^{4})^{2}}.
Simplificando o numerador:
4x^{3}y+4x y^{5}-8x y^{5}=4xy(x^{2}-y^{4}),
logo
\boxed{\,f_y(x,y)=\dfrac{4xy\,(x^{2}-y^{4})}{(x^{2}+y^{4})^{2}}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).\,}

Passo 4

Análise dos limites \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) e \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y) e verificação de limite/unboundedness.
Primeiro observe que, ao longo da curva x=y^{2} (com y\neq0), temos x^{2}=y^{4}. Substituindo em f_x e f_y:
f_x(y^2,y)=\frac{2y^{2}(y^{4}-y^{4})}{(\,y^{4}+y^{4}\,)^{2}}=0,
f_y(y^2,y)=\frac{4(y^{2})y\,(y^{4}-y^{4})}{(y^{4}+y^{4})^{2}}=0.
Portanto, ao aproximar a origem por pontos da forma (y^{2},y), ambos f_x e f_y tendem a 0.
Agora escolha a curva x=0 (e y\to0): para x=0 e y\neq0,
f_x(0,y)=\frac{2y^{2}(y^{4}-0)}{(0+y^{4})^{2}}=\frac{2y^{6}}{y^{8}}=\frac{2}{y^{2}},
que diverge para +\infty quando y\to0. Isso mostra que f_x(x,y) não tem limite finito quando (x,y)\to(0,0) e ainda que f_x é não limitada (tende a +\infty) ao aproximar-se da origem pela reta x=0.
Para f_y vamos usar a parametrização geral x=a y^{2} (para a fixo real). Substituindo em f_y (com y\neq0):
x=a y^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=a^{2}y^{4},
f_y(a y^{2},y)=\frac{4(a y^{2})y\big(a^{2}y^{4}-y^{4}\big)}{\big(a^{2}y^{4}+y^{4}\big)^{2}} =\frac{4a(a^{2}-1)y^{7}}{y^{8}(a^{2}+1)^{2}} =\frac{4a(a^{2}-1)}{(a^{2}+1)^{2}}\cdot\frac{1}{y}.
Se a\notin\{0,\pm1\} o fator multiplicativo é não nulo, e então f_y(a y^{2},y) diverge em módulo quando y\to0 (tende a \pm\infty dependendo do sinal do fator). Por exemplo, para a=2 obtém-se um comportamento como constante dividido por y, que diverge. Para a=1 ou a=0 obtém-se zero (casos especiais já vistos).
Conclusões deste passo:
  • f_x(x,y) assume valores que se aproximam de 0 ao longo de x=y^{2}, mas diverge para +\infty ao longo de x=0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)\quad\text{não existe (e \(f_x\) é não limitada perto da origem).}ãéã
  • f_y(x,y) assume 0 ao longo de x=y^{2}, mas diverge ao longo de curvas x=a y^{2} para muitos valores de a. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y)\quad\text{não existe (e \(f_y\) é não limitada perto da origem).}ãéã

Passo 5

Verificação da continuidade de f em \mathbb{R}^2 e boundedness de f.
  1. Boundedness de f.
Para y\neq0 escreva t=\dfrac{x}{y^{2}}. Então
f(x,y)=\frac{2x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} =\frac{2t y^{4}}{t^{2}y^{4}+y^{4}} =\frac{2t}{t^{2}+1}.
A função g(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+1} satisfaz |g(t)|\le1 para todo t\in\mathbb{R} (isto segue porque t^{2}+1\ge 2|t|, logo \dfrac{2|t|}{t^{2}+1}\le1). Para y=0 temos f(x,0)=0. Assim, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 existe
|f(x,y)|\le1.
Portanto f é uma função limitada globalmente (por exemplo |f|\le1).
  1. Continuidade em (0,0).
Se f fosse contínua em (0,0) teríamos \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0. Mas ao aproximar a origem pela curva x=y^{2} (com y\to0) obtemos, como já calculado,
f(y^{2},y)=\frac{2y^{2}\cdot y^{2}}{y^{4}+y^{4}}=1\quad\text{para }y\neq0,
logo \lim_{y\to0} f(y^{2},y)=1\neq0. Assim o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) depende do caminho; em particular não é igual a 0. Portanto f não é contínua em (0,0).
  1. Continuidade fora da origem.
Para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^{2}+y^{4} é positivo e f é razão de polinômios sem singularidade local, logo f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Combinando com o que foi mostrado, concluímos que f não é contínua em toda \mathbb{R}^{2} (falha apenas na origem).

Resposta

f_x(0,0)=0
f_y(0,0)=0
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) não existe (além disso f_x é não limitada perto de (0,0))
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y) não existe (além disso f_y é não limitada perto de (0,0))
f é limitada ( |f(x,y)|\le1 para todo (x,y)), mas f não é contínua em \mathbb{R}^{2} (falha em (0,0)); f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

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