Um canal retangular de
de largura, rugosidade
e declividade de fundo de
transporta, em regime permanente e uniforme uma vazão de
. Em uma determinada seção, a largura é reduzida suavemente para
.
a) Qual a altura d’água nessa seção 1?
b) Qual deveria ser a largura da seção contraída para que o escoamento seja crítico sem alteração das condições de montante? Despreze as perdas na transição
a) Qual a altura d’água nessa seção 1?
b) Qual deveria ser a largura da seção contraída para que o escoamento seja crítico sem alteração das condições de montante? Despreze as perdas na transição
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Largura inicial (montante):
. - Largura, na seção contraída considerada na letra (a):
. - Rugosidade de Manning:
. - Declividade do fundo:
. - Vazão permanente:
. - Desprezar perdas na transição (para a letra b explicitamente).
O enunciado pede:
(a) Qual a altura d’água nessa seção 1 (isto é, profundidade de escoamento uniforme na largura)?
(b) Qual deveria ser a largura da seção contraída para que o escoamento nessa seção seja crítico, sem alterar as condições de montante (isto é, mantendo as mesmas condições montantes: mesmo, mesmo , mesma declividade e mesmo escoamento uniforme montante)?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que usaremos (explicação didática):
- Equação de Manning para escoamento uniforme em canal aberto:
onde:
-
é a vazão ( ); -
é a rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido como com perímetro molhado ( ); -
é a declividade do leito (adimensional). - Para um canal retangular de largura
e profundidade :
- Para determinar a profundidade de escoamento uniforme
para uma dada , , , precisamos resolver a equação de Manning para . Em geral isso exige um método iterativo (testes sucessivos) porque depende de de forma não linear. - Condição de escoamento crítico para canal retangular: Froude
. Para retangular,
Isto leva à relação entre
,
e a profundidade crítica
:
- Energia específica
(sem perdas): para canal retangular
- Observação útil: para condição crítica em retangular a energia específica mínima (para dada
e ) é
porque na condição crítica substitui-se
na expressão de
.
Passo 3
Resolver (a): calcular
(profundidade uniforme na seção contraída com
) usando Manning.
Primeiro simplifico o coeficiente constante da equação de Manning:
Primeiro simplifico o coeficiente constante da equação de Manning:
Calculo intermediário:
Então a equação fica
Com
, fica função só de
. Vamos iterar por tentativa até que o
calculado seja
.
Faço tentativas (mostro algumas iterações, com contas explicadas):
- Teste
:
Muito baixo → aumentar
.
- Teste
:
Esse resultado já está praticamente em
. Para refinar, calculei com ponto extra:
- Teste
(refinamento):
Conclusão da iteração:
. Para escrita prática, adoto
.
Passo 4
Resolver (b): largura
tal que o escoamento na seção contraída seja crítico, sem alterar condições de montante.
Interpretação: “sem alteração das condições de montante” significa que montante permanece em escoamento uniforme com a largura , mesma
,
e
. Logo primeiro calculamos a profundidade normal montante
(canal largo
) e a energia específica montante
; como não há perdas na transição, essa energia disponível na seção contraída será igual à energia específica que a seção contraída terá. Para que a seção contraída fique crítica, a energia disponível deve ser igual à energia mínima crítica
do novo largura
. Assim a estratégia:
Interpretação: “sem alteração das condições de montante” significa que montante permanece em escoamento uniforme com a largura
- calcular
(profundidade uniforme para ); - calcular
com ; - impor
e usar a relação crítica para obter .
Passo 5
Passo 1 da estratégia: calcular
para
usando Manning (mesmo
calculado antes).
Equação:
Equação:
Iterações (resumo):
-
deu (baixo). -
deu (alto).
Refinando entre 1,18 e 1,19: -
→ ; -
→ .
Interpolando, obtenho
Passo 6
Calcular energia específica montante
.
Primeiro área montante:
Primeiro área montante:
Termo da velocidade na energia:
Calculo:
Portanto
Passo 7
Relacionar
com a condição crítica na seção contraída:
- Se a seção contraída for crítica, sua energia específica mínima é
. - Como não há perdas na transição, impõe-se
Assim
Passo 8
Agora uso a relação crítica para obter
:
Calculo numérico:
Arredondando sensatamente,
.
Resposta
(a)
(b)