Um canal retangular de 3,6 \mathrm{~m} de largura, rugosidade \mathrm{n}=0,015 e declividade de fundo de 0,0010 \mathrm{~m} / \mathrm{m} transporta, em regime permanente e uniforme uma vazão de 7,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Em uma determinada seção, a largura é reduzida suavemente para 2,50 \mathrm{~m}.
a) Qual a altura d’água nessa seção 1?
b) Qual deveria ser a largura da seção contraída para que o escoamento seja crítico sem alteração das condições de montante? Despreze as perdas na transição

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Largura inicial (montante): b_0 = 3{,}60\\ \mathrm{m}.
  • Largura, na seção contraída considerada na letra (a): b_1 = 2{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade de Manning: n = 0{,}015.
  • Declividade do fundo: S = 0{,}0010.
  • Vazão permanente: Q = 7{,}2\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Desprezar perdas na transição (para a letra b explicitamente).
    O enunciado pede:
    (a) Qual a altura d’água nessa seção 1 (isto é, profundidade de escoamento uniforme na largura b_1=2{,}50\\ \mathrm{m})?
    (b) Qual deveria ser a largura da seção contraída para que o escoamento nessa seção seja crítico, sem alterar as condições de montante (isto é, mantendo as mesmas condições montantes: mesmo Q, mesmo n, mesma declividade e mesmo escoamento uniforme montante)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usaremos (explicação didática):
  • Equação de Manning para escoamento uniforme em canal aberto:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é a rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido como R = A/P com P perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade do leito (adimensional).
  • Para um canal retangular de largura b e profundidade y:
A = b\,y,\qquad P = b + 2y,\qquad R=\frac{b\,y}{b+2y}.
  • Para determinar a profundidade de escoamento uniforme y para uma dada b, Q, n, S precisamos resolver a equação de Manning para y. Em geral isso exige um método iterativo (testes sucessivos) porque R depende de y de forma não linear.
  • Condição de escoamento crítico para canal retangular: Froude Fr=1. Para retangular,
Fr=\frac{V}{\sqrt{g\,y}}=\frac{Q/(b\,y)}{\sqrt{g\,y}}=1.
Isto leva à relação entre Q, b e a profundidade crítica y_c:
Q^{2}=g\,b^{2}\,y_c^{3}.
  • Energia específica E (sem perdas): para canal retangular
E = y + \frac{Q^{2}}{2gA^{2}}.
  • Observação útil: para condição crítica em retangular a energia específica mínima (para dada Q e b) é
E_{\min} = \frac{3}{2}\,y_c,
porque na condição crítica substitui-se Q^{2}=g b^{2} y_c^{3} na expressão de E.

Passo 3

Resolver (a): calcular y_1 (profundidade uniforme na seção contraída com b_1=2{,}50\\ \mathrm{m}) usando Manning.
Primeiro simplifico o coeficiente constante da equação de Manning:
\frac{1}{n}S^{1/2}=\frac{1}{0{,}015}\sqrt{0{,}0010}.
Calculo intermediário:
\sqrt{0{,}0010}=0{,}0316228\quad\text{(aprox.)},
\frac{1}{n}= \frac{1}{0{,}015}=66{,}6667,
\Rightarrow C=\frac{1}{n}S^{1/2}\approx 66{,}6667\times0{,}0316228\approx2{,}1082.
Então a equação fica
Q = C \,A\,R^{2/3}=2{,}1082\;(b_1 y)\;\left(\frac{b_1 y}{b_1+2y}\right)^{2/3}.
Com b_1=2{,}50, fica função só de y. Vamos iterar por tentativa até que o Q calculado seja 7{,}2\\ \mathrm{m^3/s}.
Faço tentativas (mostro algumas iterações, com contas explicadas):
  • Teste y=1{,}0\\ \mathrm{m}: A=2{,}5\times1{,}0=2{,}5,\quad P=2{,}5+2\times1{,}0=4{,}5,
R=\frac{2{,}5}{4{,}5}=0{,}5556,\quad R^{2/3}\approx0{,}6506,
Q\approx2{,}1082\times2{,}5\times0{,}6506\approx3{,}43\\ \mathrm{m^3/s}\\ (<7{,}2).
Muito baixo → aumentar y.
  • Teste y=1{,}7\\ \mathrm{m}: A=2{,}5\times1{,}7=4{,}25,\quad P=2{,}5+2\times1{,}7=5{,}9,
R=\frac{4{,}25}{5{,}9}\approx0{,}7203,\quad R^{2/3}\approx0{,}8034,
Q\approx2{,}1082\times4{,}25\times0{,}8034\approx7{,}20\\ \mathrm{m^3/s}.
Esse resultado já está praticamente em 7{,}2. Para refinar, calculei com ponto extra:
  • Teste y=1{,}699\\ \mathrm{m} (refinamento): A=2{,}5\times1{,}699=4{,}2475,\quad P=2{,}5+2\times1{,}699=5{,}898,
R=\frac{4{,}2475}{5{,}898}\approx0{,}7200,\quad R^{2/3}\approx0{,}8036,
Q\approx2{,}1082\times4{,}2475\times0{,}8036\approx7{,}198\\ \mathrm{m^3/s}\\ (\text{muito próximo de }7{,}2).ó
Conclusão da iteração: y_1\approx1{,}699\\ \mathrm{m}. Para escrita prática, adoto y_1\approx1{,}70\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Resolver (b): largura b_{\text{cr}} tal que o escoamento na seção contraída seja crítico, sem alterar condições de montante.
Interpretação: “sem alteração das condições de montante” significa que montante permanece em escoamento uniforme com a largura b_0=3{,}60\\ \mathrm{m}, mesma Q, n e S. Logo primeiro calculamos a profundidade normal montante y_0 (canal largo b_0) e a energia específica montante E_{\text{up}}; como não há perdas na transição, essa energia disponível na seção contraída será igual à energia específica que a seção contraída terá. Para que a seção contraída fique crítica, a energia disponível deve ser igual à energia mínima crítica E_{\min}=\tfrac{3}{2}y_c do novo largura b_{\text{cr}}. Assim a estratégia:
  1. calcular y_0 (profundidade uniforme para b_0=3{,}60);
  2. calcular E_{\text{up}} = y_0 + \dfrac{Q^{2}}{2gA_{0}^{2}} com A_0=b_0 y_0;
  3. impor E_{\text{up}} = \tfrac{3}{2}y_c e usar a relação crítica Q^{2}=g b_{\text{cr}}^{2} y_c^{3} para obter b_{\text{cr}}.

Passo 5

Passo 1 da estratégia: calcular y_0 para b_0=3{,}60\\ \mathrm{m} usando Manning (mesmo C=2{,}1082 calculado antes).
Equação:
Q = 2{,}1082\;(b_0 y)\left(\frac{b_0 y}{b_0+2y}\right)^{2/3},\qquad b_0=3{,}60.
Iterações (resumo):
  • y=1{,}10\\ \mathrm{m} deu Q\approx6{,}46 (baixo).
  • y=1{,}20\\ \mathrm{m} deu Q\approx7{,}32 (alto).
    Refinando entre 1,18 e 1,19:
  • y=1{,}185 Q\approx7{,}189;
  • y=1{,}19 Q\approx7{,}255.
    Interpolando, obtenho
y_0 \approx 1{,}186\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular energia específica montante E_{\text{up}}.
Primeiro área montante:
A_0 = b_0 y_0 = 3{,}60\times1{,}186 \approx 4{,}2696\\ \mathrm{m^2}.
Termo da velocidade na energia:
\frac{Q^{2}}{2gA_0^{2}}=\frac{(7{,}2)^{2}}{2\times9{,}81\times(4{,}2696)^{2}}.
Calculo:
Q^{2}=51{,}84,\quad A_0^{2}\approx18{,}225,\quad 2gA_0^{2}\approx19{,}62\times18{,}225\approx357{,}52,
\frac{Q^{2}}{2gA_0^{2}}\approx\frac{51{,}84}{357{,}52}\approx0{,}1451\\ \mathrm{m}.
Portanto
E_{\text{up}} = y_0 + \frac{Q^{2}}{2gA_0^{2}}\approx1{,}186 + 0{,}1451 \approx 1{,}3311\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Relacionar E_{\text{up}} com a condição crítica na seção contraída:
  • Se a seção contraída for crítica, sua energia específica mínima é E_{\min}=\dfrac{3}{2}y_c.
  • Como não há perdas na transição, impõe-se
E_{\text{up}} = \frac{3}{2}y_c \quad\Rightarrow\quad y_c = \frac{2}{3}E_{\text{up}}.
Assim
y_c \approx \frac{2}{3}\times1{,}3311 \approx 0{,}8874\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Agora uso a relação crítica para obter b_{\text{cr}}:
Q^{2} = g\,b_{\text{cr}}^{2}\,y_c^{3}\quad\Rightarrow\quad b_{\text{cr}}^{2}=\frac{Q^{2}}{g\,y_c^{3}}.
Calculo numérico:
y_c^{3}\approx(0{,}8874)^{3}\approx0{,}6986,
g\,y_c^{3}\approx9{,}81\times0{,}6986\approx6{,}852,
b_{\text{cr}}^{2}\approx\frac{51{,}84}{6{,}852}\approx7{,}569,
b_{\text{cr}}\approx\sqrt{7{,}569}\approx2{,}751\\ \mathrm{m}.
Arredondando sensatamente, b_{\text{cr}}\approx2{,}75\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) y_1 \approx 1{,}70\\ \mathrm{m}
(b) b_{\text{cr}} \approx 2{,}75\\ \mathrm{m}

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