Dada a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & \text { se } x \leq 1 \\\\ 2, & \text { se } x>1\end{array}\right., mostre que não existe f^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por
f(x)= \begin{cases} x, & \text{se }x\le1,\\\\ 2, & \text{se }x>1, \end{cases}
e pede para mostrar que f'(1) não existe.
Para isso vamos usar a definição de derivada num ponto:
f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},
que existe apenas se os limites laterais à esquerda e à direita forem iguais e finitos.

Passo 2

Calculando a derivada lateral pela esquerda ( x\to1^-):
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1^-}\frac{x-1}{x-1} =\lim_{x\to1^-}1 =1.

Passo 3

Calculando a derivada lateral pela direita ( x\to1^+):
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{2-1}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1} =+\infty,
ou seja, esse limite nem sequer é finito.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes (um vale 1 e o outro diverge), não há limite único. Logo, pela definição de derivada, f'(1) não existe.

Resposta

f'(1) não existe.

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