Para cada função f(x), determine a função derivada f^{\prime}(x), e a derivada f^{\prime}\left(x_{0}\right) no ponto x_{0} indicado.
f(x)=\frac{1}{x}, x_{0}=2;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{x}
e o valor de f'(x) no ponto x_{0}=2. O conteúdo aqui é a regra de potência, já que podemos reescrever f(x) como uma potência de x.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}
e aplicamos a regra de potência: se g(x)=x^{n} então
g'(x)=n\,x^{n-1}.

Passo 3

No nosso caso n=-1, logo
f'(x) = (-1)\,x^{-1-1} = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Para x_{0}=2, substituímos na expressão de f'(x):
f'(2) = -\frac{1}{2^{2}} = -\frac{1}{4}.

Resposta

f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}
f'(2) = -\dfrac{1}{4}

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