Dada a função h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & \text { se } x<0 \\\ x^{2}, & \text { se } 0<x \leq 2 \\\\ 8-x, & \text { se } x>2\end{array}\right., determine, se existirem, os limites:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} h(x)

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
h(x)=\begin{cases} x, & \text{se } x<0,\\[4pt] x^{2}, & \text{se } 0<x\leq 2,\\[4pt] 8-x, & \text{se } x>2. \end{cases}
A pergunta específica é calcular o limite à esquerda
\lim_{x\to 2^{-}} h(x).
Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
  • Para valores de x estritamente menores que 2 mas próximos de 2, a fórmula que define h é a segunda: h(x)=x^{2}, pois essa região corresponde a 0<x\leq 2.
  • Observação direta da definição: h(2)=2^{2}=4 (a segunda peça vale em x=2).]

Passo 2

O que significa \lim_{x\to 2^{-}} h(x)?
  • A notação \lim_{x\to 2^{-}} h(x) pede o valor que h(x) se aproxima quando x se aproxima de 2 vindo pela esquerda, isto é, por valores x<2 cada vez mais próximos de 2.
  • Na prática de prova: para calcular um limite lateral, primeiro identificar qual expressão da função por partes vale para os x que estão do lado indicado (aqui, o lado esquerdo de 2).

Passo 3

Determinar a expressão de h válida quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2.
  • Valores x tão perto de 2 mas com x<2 satisfazem 0<x<2.
  • Pela definição dada, para 0<x\leq 2 temos h(x)=x^{2}.
    Logo, ao calcular \lim_{x\to 2^{-}} h(x) podemos substituir h(x) por x^{2} no processo de limite:
\lim_{x\to 2^{-}} h(x)=\lim_{x\to 2^{-}} x^{2}.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 2^{-}} x^{2}.
  • A função x\mapsto x^{2} é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}.
  • Para uma função contínua, o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto
\lim_{x\to 2^{-}} x^{2}=2^{2}=4.
Se quiser ver de forma elementar sem usar imediatamente a palavra “continuidade”: para x próximo de 2 tem-se
|x^{2}-4|=|x-2||x+2|,
e quando x\to 2 ambos fatores tendem a 0 e 4, respectivamente, de modo que o produto tende a 0, o que confirma que x^{2}\to 4.

Passo 5

Conclusão didática e incentivo: como mostramos, os x que vêm da esquerda de 2 obedecem à fórmula x^{2}, e como x^{2} é contínuo, o limite pela esquerda existe e é 4. Bom trabalho — isso é exatamente o tipo de passo que cai em prova: identificar a rama correta da função por partes e aplicar substituição direta quando a expressão é contínua.

Resposta

4

Exercícios relacionados