Dada a função f(x)=llx^2-1, & se x<2 7-x^2, & se x >= 2, calcule seus valores extremos absolutos no intervalo [0,3].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x^2-1, & se x<2, 7-x^2, & se x>=2
no intervalo [0,3] e pede os extremos absolutos. Vamos usar derivadas para achar pontos críticos em cada ramo e depois comparar valores em todos os candidatos.

Passo 2

No ramo x<2 temos f1(x)=x^2-1 e
f1'(x)=2x
A condição f1'(x)=0 x=0, que é a fronteira do intervalo. No ramo x>=2 temos f2(x)=7-x^2 e
f2'(x)=-2x
A condição f2'(x)=0 x=0, que não pertence a x>=2. Logo, não há pontos críticos internos além das fronteiras.

Passo 3

Como não surgiram pontos críticos internos (além de x=0 que já é fronteira), os pontos candidatos a extremos são as extremidades do intervalo e o ponto de quebra do ramo:
x=0, x=2, x=3

Passo 4

Vamos avaliar f em cada candidato:
bul<=t Em x=0, como 0<2,
f(0)=0^2-1=-1
bul<=t Em x=2, como 2>=2,
f(2)=7-2^2=7-4=3
bul<=t Em x=3, como 3>=2,
f(3)=7-3^2=7-9=-2

Passo 5

Comparando os valores obtidos:
-1 em x=0, 3 em x=2 e -2 em x=3. O maior é 3 e o menor é -2.

Resposta

O valor máximo absoluto é f(2)=3 e o valor mínimo absoluto é f(3)=-2.

Exercícios relacionados