Exercício 9. Para
, decidir sobre a integrabilidade (ou não) da função
, perto da origem e no infinito. Mais precisamente, estude a convergência das integrais
e calcule o seu valor, quando possível.
Passo 1
O enunciado pede para decidir quando a função
em
é integrável perto da origem e no infinito e, quando der, calcular
O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas e verificar a convergência de integrais de tipo
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
com
,
e
onde
é a área da esfera unitária em
. Assim qualquer integral radial fica
Passo 3
Estudo da convergência em torno da origem:
converge se e somente se o expoente
satisfaz
, ou seja
Passo 4
Quando
, calcula-se
Passo 5
Estudo da convergência no infinito:
converge se e somente se
, ou seja
Passo 6
Quando
,
Passo 7
Integral sobre todo
: para ser finita precisaríamos simultaneamente de
e de
, o que é impossível. Logo
Resposta
Para
a integral em
converge e
Para
a integral em
converge e
Em nenhum caso total em
fica finita, pois não há
que satisfaça simultaneamente
e
.