Exercício 9. Para alpha in R, decidir sobre a integrabilidade (ou não) da função u(x)=|x|^alpha, x in R^d, perto da origem e no infinito. Mais precisamente, estude a convergência das integrais
integralR^d|x|^alpha d x, integralBvarepsilon(0)|x|^alpha d x e integralR^d backslash BR(0)|x|^alpha d x
e calcule o seu valor, quando possível.

Passo 1

O enunciado pede para decidir quando a função u(x)=|x|^alpha em R^d é integrável perto da origem e no infinito e, quando der, calcular
integralBvarepsilon(0)|x|^alpha,dx e integralR^dsetminus BR(0)|x|^alpha,dx
O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas e verificar a convergência de integrais de tipo
integral r^alpha+d-1,dr.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos x=(r,omega) com r=|x|in[0,infty), omegain S^d-1 e
dx = r^d-1,dr,domega,
onde |S^d-1|=2pi^d/2Gamma(d/2) é a área da esfera unitária em R^d. Assim qualquer integral radial fica
integralregião|x|^alpha,dx =|S^d-1|integralintervalo (r)r^alpha,r^d-1,dr =|S^d-1|integral r^alpha+d-1,dr ã

Passo 3

Estudo da convergência em torno da origem:
integral0^varepsilonr^alpha+d-1,dr converge se e somente se o expoente beta=alpha+d-1 satisfaz beta>-1, ou seja
alpha+d-1>-1 Long<=ftrightarrow alpha>-d

Passo 4

Quando alpha>-d, calcula-se
integralBvarepsilon(0)|x|^alpha,dx =|S^d-1|integral0^varepsilonr^alpha+d-1,dr =|S^d-1|;varepsilon^alpha+dalpha+d

Passo 5

Estudo da convergência no infinito:
integralR^inftyr^alpha+d-1,dr converge se e somente se alpha+d-1<-1, ou seja
alpha+d-1<-1 Long<=ftrightarrow alpha<-d

Passo 6

Quando alpha<-d,
integralR^dsetminus BR(0)|x|^alpha,dx =|S^d-1|integralR^inftyr^alpha+d-1,dr =|S^d-1|;R^alpha+d-(alpha+d) =-,|S^d-1|;R^alpha+dalpha+d

Passo 7

Integral sobre todo R^d: para ser finita precisaríamos simultaneamente de alpha>-d e de alpha<-d, o que é impossível. Logo
integralR^d|x|^alpha,dx = infty para todo (alphainR)

Resposta

Para alpha>-d a integral em Bvarepsilon(0) converge e
integralBvarepsilon(0)|x|^alpha,dx =|S^d-1|;varepsilon^alpha+dalpha+d
Para alpha<-d a integral em R^dsetminus BR(0) converge e
integralR^dsetminus BR(0)|x|^alpha,dx =-,|S^d-1|;R^alpha+dalpha+d
Em nenhum caso total em R^d fica finita, pois não há alpha que satisfaça simultaneamente alpha>-d e alpha<-d.

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