a) Encontre os valores de n e m para a função ser contínua em todo o seu domínio.
b) A função é diferenciável em (\mathrm{x}=0] ?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) os valores de m e n que garantem a continuidade em todo o domínio e (b) se a função é diferenciável em x=0.
O conteúdo usado será: definição de continuidade em pontos de quebra e definição de derivada pelo limite do quociente incremental.
Passo 2
Para garantir continuidade em x=8 precisamos ter
limxto8^-f(x)=limxto8^+f(x)
Do ramo da esquerda vem
limxto8^-f(x)=raiz[3]8+m=2+m,
e do ramo da direita (segundo) vem
limxto8^+f(x)=ncdot84=2n
Logo a condição é
2+m=2n
Passo 3
Para garantir continuidade em x=12 usamos
limxto12^-f(x)=limxto12^+f(x)
Do segundo ramo
limxto12^-f(x)=ncdot124=3n,
e do terceiro ramo
limxto12^+f(x)=2cdot12=24
Logo
3n=24Longrightarrow n=8
Passo 4
Substituindo n=8 na condição do Passo 2,
2+m=2cdot8=16
segue
m=16-2=14
Passo 5
Para verificar diferenciabilidade em x=0 usamos a definição
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h
Como 0<=8, o ramo é f(x)=raiz[3]x+m. Então
f(0)=raiz[3]0+m=m
e
f(h)-f(0)h =raiz[3]h+m-mh =h^1/3h =h^-2/3
Quando hto0 temos h^-2/3to+infty, não existe limite finito. Portanto a derivada em 0 não existe.
Resposta
a) m=14 e n=8
b) A função não é diferenciável em x=0.