a) Sendo k uma constante, defina o valor dessa constante para a função ser contínua em todo o intervalo.
b) A função é derivável em (\mathrm{x}=0] ?
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede (a) o valor de k para que f seja contínua em x=0 e (b) se f é derivável em x=0. Para isso vamos usar as definições de limite lateral (continuidade) e derivada lateral (derivabilidade).]
Passo 2
Primeiro calculemos
limxto0x^2sin(x)
Como isso é um caso 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limxto0x^2sin(x) =limxto02xcos(x) =2cdot01=0
Passo 3
O limite lateral pela esquerda de f em 0 é
limxto0^-f(x) =limxto0l(x^2sin(x)-kr) =0-k=-k
Passo 4
O limite lateral pela direita de f em 0 é
limxto0^+f(x) =limxto0l(e^x+2kr) =1+2k
Passo 5
Para continuidade em x=0 precisamos de
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x),
isto é,
-k=1+2k Longrightarrow -3k=1 Longrightarrow k=-13
Passo 6
Agora vamos ver a derivabilidade em 0. Primeiro a derivada lateral pela esquerda, usando a definição