a) Sendo k uma constante, defina o valor dessa constante para a função ser contínua em todo o intervalo.
b) A função é derivável em (\mathrm{x}=0] ?

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)= dfracx^2sin(x)-k, & x<=0,[0.5em] e^x+2k, & x>0,
e pede (a) o valor de k para que f seja contínua em x=0 e (b) se f é derivável em x=0. Para isso vamos usar as definições de limite lateral (continuidade) e derivada lateral (derivabilidade).]

Passo 2

Primeiro calculemos
limxto0x^2sin(x)
Como isso é um caso 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limxto0x^2sin(x) =limxto02xcos(x) =2cdot01=0

Passo 3

O limite lateral pela esquerda de f em 0 é
limxto0^-f(x) =limxto0l(x^2sin(x)-kr) =0-k=-k

Passo 4

O limite lateral pela direita de f em 0 é
limxto0^+f(x) =limxto0l(e^x+2kr) =1+2k

Passo 5

Para continuidade em x=0 precisamos de
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x),
isto é,
-k=1+2k Longrightarrow -3k=1 Longrightarrow k=-13

Passo 6

Agora vamos ver a derivabilidade em 0. Primeiro a derivada lateral pela esquerda, usando a definição
f'-(0) =limxto0^-f(x)-f(0)x-0
Como, pela continuidade, f(0)=-k=1/3, temos
f'-(0) =limxto0l(x^2sin(x)-kr)-(-k)x =limxto0x^2/sin(x)x =limxto0xsin(x) =1

Passo 7

A derivada lateral pela direita é direta, pois f(x)=e^x+2k para x>0. Logo
f'+(0) =limxto0^+ddxl(e^x+2kr) =limxto0e^x=1
Como f'-(0)=f'+(0)=1, a função é derivável em x=0.

Resposta

a) k=-tfrac13\n
b) Sim, f é derivável em x=0.

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