Esboce o gráfico de
e resolva a desigualdade
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos esboçar o gráfico da função f(x)=|x+1|−|x−1| e depois resolver a desigualdade f(x)<1. O conteúdo principal envolve a definição de valor absoluto e como montar funções por partes.
Passo 2
Identificar os pontos onde os módulos mudam de sinal, que são x=−1 e x=1, e dividir o domínio em três intervalos: x<−1, −1≤x<1 e x≥1.
Passo 3
Expressar f(x) em cada intervalo retirando os módulos e simplificar.
Para x<−1 temos |x+1|=−(x+1) e |x−1|=−(x−1). Assim
Para x<−1 temos |x+1|=−(x+1) e |x−1|=−(x−1). Assim
Para −1≤x<1 temos |x+1|=x+1 e |x−1|=−(x-1). Assim
Para x≥1 temos |x+1|=x+1 e |x−1|=x-1. Então
Passo 4
Esboçar o gráfico: é uma função constante f(x)=−2 para x<−1, uma reta f(x)=2x no intervalo [−1,1] que vai de (−1,−2) a (1,2), e outra constante f(x)=2 para x>1. Os pontos em x=−1 e x=1 estão ligados de forma contínua.
Passo 5
Resolver a desigualdade f(x)<1 em cada trecho:
Para x<−1 temos f(x)=−2 e −2<1 é sempre verdadeiro, então todo x<−1 faz parte.
Para −1≤x<1 temos f(x)=2x e 2x<1 ⇒ x<1/2, combinado com −1≤x<1 dá −1≤x<1/2.
Para x≥1 temos f(x)=2 e 2<1 é falso, não há solução nessa região.
Para x<−1 temos f(x)=−2 e −2<1 é sempre verdadeiro, então todo x<−1 faz parte.
Para −1≤x<1 temos f(x)=2x e 2x<1 ⇒ x<1/2, combinado com −1≤x<1 dá −1≤x<1/2.
Para x≥1 temos f(x)=2 e 2<1 é falso, não há solução nessa região.
Passo 6
Unir as soluções de cada intervalo e concluir que a solução da desigualdade é x∈(−∞,1/2).
Resposta
O gráfico de f(x) é dado por
f(x)=−2 para x<−1,
f(x)=2x para −1≤x≤1,
f(x)=2 para x>1,
e a solução de f(x)<1 é x∈(−∞,\tfrac12).
f(x)=−2 para x<−1,
f(x)=2x para −1≤x≤1,
f(x)=2 para x>1,
e a solução de f(x)<1 é x∈(−∞,\tfrac12).