Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2 e^x em (1, e).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2e^x no ponto (1,e). Este é um problema de derivadas e de equação de reta tangente. Vamos precisar calcular a derivada de f(x) usando a regra do produto e, em seguida, aplicar a fórmula da reta tangente y - f(a) = f'(a)(x - a).

Passo 2

Para achar a derivada de f(x)=x^2e^x, usamos a regra do produto: se u(x)=x^2 e v(x)=e^x, então u'(x)=2x e v'(x)=e^x. Logo,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x e^x + x^2 e^x = e^x(x^2+2x)

Passo 3

Agora avaliamos f(1) e f'(1):
f(1)=1^2e^1=e,
f'(1)=e^1(1^2+2cdot1)=e(1+2)=3e

Passo 4

Usando a fórmula da reta tangente em x=a:
y - f(a)=f'(a)(x - a),
substituindo a=1, f(1)=e e f'(1)=3e, temos:
y - e = 3e(x - 1)

Passo 5

Reorganizando para isolar y:
y = 3e x -3e + e = 3e x - 2e

Resposta

y = 3e x - 2e

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