Calcule o Div F(x, y, z) e o Rot F(x, y, z) dos seguintes campos vetoriais:
F(x, y, z)=y x \boldsymbol{i}+e^{x} \operatorname{sen} y \boldsymbol{j}+y \cos (2 z) \boldsymbol{k}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a divergência (Div F) e o rotacional (Rot F) de um campo vetorial específico. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, que estuda como funcionam vetores em espaços multidimensionais. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a divergência e o rotacional de um campo vetorial, usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência mede a “taxa de expansão” do campo em um ponto. Se a divergência for positiva, o campo está “saindo” do ponto; se for negativa, está “entrando”.
Para um campo vetorial $ F(x, y, z) = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k} $, a divergência é calculada assim:
F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
F(x, y, z) = yx, i + e^x sin y, j + y cos(2z), k
Portanto:
P = yx, Q = e^x sin y, R = y cos(2z)

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial para a divergência:
  1. partial Ppartial x = partialpartial x (yx) = y
  2. partial Qpartial y = partialpartial y (e^x sin y) = e^x cos y
  3. partial Rpartial z = partialpartial z (y cos(2z)) = -2y sin(2z)

Passo 5

Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
Div F = y + e^x cos y - 2y sin(2z)

Passo 6

Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial, que nos indica a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Para isso, usamos a seguinte fórmula para o rotacional de $ F $:
F

Passo 7

Vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. partial Rpartial y = partialpartial y (y cos(2z)) = cos(2z)
  2. partial Qpartial z = partialpartial z (e^x sin y) = 0 (já que $ Q $ não depende de $ z $)
  3. Q (já que $ R $ não depende de $ x $)
  4. z (já que $ P $ não depende de $ z $)
  5. partial Rpartial x = partialpartial x (y cos(2z)) = 0
  6. R

Passo 8

Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Rot F = ( cos(2z) - 0 ) i - ( 0 - 0 ) j + ( e^x sin y - x ) k
Simplificando:
Rot F = cos(2z), i + 0, j + (e^x sin y - x), k
Podemos remover o termo zero:
Rot F = cos(2z), i + (e^x sin y - x), k

Resposta

A divergência e o rotacional do campo vetorial $ F(x, y, z) $ são:
F(x, y, z)
Div F = y + e^x cos y - 2y sin(2z)

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