Dada a função f , o ponto ( x0, y0 ), e o vetor unitário u determine partial fpartial u e encontre algum w unitário tal que partial fpartial w>|partial fpartial u|
f(x, y)=ln (x^4+y^4)
(x0, y0)=(2,1)
u=(1517, 817)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f em (2,1) na direção de u e depois achar uma direção w em que essa derivada seja ainda maior em módulo. O conteúdo é derivada direcional, que usa o gradiente de f.

Passo 2

Precisamos do gradiente de f. Como f(x,y)=ln(x4+y4), suas derivadas parciais são dadas por f_x= 4x^3x^4+y^4 e f_y= 4y^3x^4+y^4. Então, em bloco
nabla f(x,y)=l(4x^3x^4+y^4,,4y^3x^4+y^4r)

Passo 3

Em (2,1) temos x4+y4=16+1=17, logo, em bloco
nabla f(2,1)=l(4cdot2^317,,4cdot1^317r)=l(3217,417r)

Passo 4

A derivada direcional em u é Dvec uf=nabla f(2,1)cdotvec u. Fazendo o produto escalar, em bloco
Dvec uf=l(3217,417r)cdotl(1517,817r)=32cdot15+4cdot817cdot17=512289

Passo 5

Para achar uma direção w que maximize a derivada direcional, basta apontar na direção do próprio gradiente. O módulo do gradiente em (2,1) é, em bloco
|nabla f(2,1)|=raizl(3217r)^2+l(417r)^2=4raiz6517

Passo 6

Então um vetor unitário w na direção do gradiente é dado por, em bloco
vec w=nabla f(2,1)|nabla f(2,1)| = (32/17,,4/17)4raiz65/17 = l(8raiz65,,1raiz65r)
A derivada direcional em w é exatamente |nabla f(2,1)|=4raiz65/17, que é maior que |512/289|.

Resposta

Dvec uf(2,1)=512289. Um vetor unitário que aumenta mais rápido é vec w=l(tfrac8raiz65,,tfrac1raiz65r), pois Dvec wf=tfrac4raiz6517>l|tfrac512289r|.

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