Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
f(x, y)=x+y^2; círculo x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função com restrição
Temos a função
f(x,y)=x+y^2
confinada ao círculo
x^2+y^2=1
O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar das derivadas parciais de f e da restrição.

Passo 2

Para tratar a restrição usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(x^2+y^2-1r)=x+y^2-lambda(x^2+y^2-1)
As condições de ótimo exigem
partial Lpartial x=1-2lambda x=0, partial Lpartial y=2y-2lambda y=0, partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2-1)=0

Passo 3

Das equações de Lagrange obtemos dois cenários:
  1. Se y=0, a segunda equação é satisfeita e da primeira vem 1-2lambda x=0 com x^2=1. Logo os candidatos são (x,y)=(1,0) e (-1,0).
  2. Se yneq0, da segunda equação segue 2y-2lambda y=0implieslambda=1. Substituindo na primeira: 1-2x=0implies x=1/2. Pela restrição
$$\Bigl(\tfrac12\Bigr){2}+y{2}=1\implies y^{2}=\tfrac34\implies y=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.
$$
Portanto os candidatos são l(tfrac12r)^2+y^2=1implies y^2=tfrac34implies y=pmtfracraiz32 , (1/2,pmraiz3/2) e (1,0).

Passo 4

Agora basta avaliar f em cada ponto:
  • Em (1,0):
f=1+0=1
- Em (-1,0):
f=-1+0=-1
  • Em (1/2,pmraiz3/2):
f=tfrac12+l(tfracraiz32r)^2=tfrac12+tfrac34=tfrac54
O menor valor é -1 em (-1,0) e o maior é 5/4 em (1/2,pmraiz3/2).

Resposta

Mínimo: (-1,0) com f=-1. Máximos: (1/2,raiz3/2) e (1/2,-raiz3/2) com f=5/4.

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