Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
; círculo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função com restrição
Temos a função
Temos a função
confinada ao círculo
O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar das derivadas parciais de
e da restrição.
Passo 2
Para tratar a restrição usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos
As condições de ótimo exigem
Passo 3
Das equações de Lagrange obtemos dois cenários:
- Se
, a segunda equação é satisfeita e da primeira vem com . Logo os candidatos são e . - Se
, da segunda equação segue . Substituindo na primeira: . Pela restrição
$$\Bigl(\tfrac12\Bigr){2}+y{2}=1\implies y^{2}=\tfrac34\implies y=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.
$$
Portanto os candidatos são ,
e
.
Portanto os candidatos são
Passo 4
Agora basta avaliar
em cada ponto:
- Em
:
- Em
- Em
:
O menor valor é
Resposta
Mínimo:
com
. Máximos:
e
com
.