Dada a função quadrática
, determine:
(a) O vértice de parábola.
(b) Os pontos de intersecção com o eixo
, se tiverem.
(c) O ponto de intersecção com o eixo
.
(d) Esboce o gráfico da função.
(a) O vértice de parábola.
(b) Os pontos de intersecção com o eixo
(c) O ponto de intersecção com o eixo
(d) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função quadrática
e pede quatro coisas:
- (a) o vértice da parábola;
- (b) os pontos de intersecção com o eixo
(raízes), se existirem; - (c) o ponto de intersecção com o eixo
; - (d) um esboço do gráfico da função.
Informações importantes que extraí do enunciado (coeficientes da função quadrática):
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(termo independente).
Passo 2
Vamos encontrar o vértice. Dois caminhos: usar a fórmula da abscissa do vértice ou completar o quadrado. Primeiro a fórmula rápida:
A abscissa do vértice é dada por
Substituindo
e
:
Agora a ordenada do vértice é
. Calculando:
Logo o vértice é o ponto
, isto é,
.
Para aprender melhor, mostro também completing the square (completar o quadrado) que explica por que isso é o vértice. Reescrevendo
:
Dentro do parêntese complete o quadrado:
. Assim
Portanto
Essa forma mostra imediatamente que o máximo (vértice, porque a parábola é invertida) ocorre em
com valor
.
Passo 3
Agora as intersecções com o eixo
: são as raízes da equação
. Usamos a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) e o discriminante.
A equação é
O discriminante é
Como
existem duas raízes reais distintas. A fórmula das raízes é
Substituindo:
Calcule as duas soluções:
- Com o sinal
: . - Com o sinal
: .
Portanto as intersecções com o eixo
são os pontos
e
. Verificação rápida:
e
.
Passo 4
Intersecção com o eixo
. Isso ocorre em
. Calcule
:
Logo o ponto de intersecção com o eixo
é
.
Passo 5
Esboço do gráfico — o que precisamos saber para desenhar uma parábola de forma confiável:
- Como
, a parábola é concava para baixo (tem um máximo). - Vértice:
— ponto máximo. - Eixo de simetria: a reta
. - Interseções com o eixo
: e — simétricas em relação a . - Interseção com o eixo
: . - Podemos calcular mais um ponto para ajudar no esboço, por exemplo
. Assim tem o mesmo que , confirmando a simetria.
Como desenhar (passo a passo para a prova):
- Marque o vértice
. - Desenhe a linha vertical
como eixo de simetria (só como guia). - Marque os pontos
e no eixo . - Marque o ponto
e, por simetria, . - Faça uma curva suave passando por esses pontos, com concavidade para baixo, atingindo o máximo em
e caindo para quando .
Dica prática: coloque os pontos em um papel quadriculado e ligue por uma curva simétrica — o esboço ficará preciso o suficiente para uma prova.
Resposta
(a) Vértice:
(b) Intersecções com o eixo
:
e
(c) Intersecção com o eixo
:
(d) Esboço/descrição: parábola com concavidade para baixo, máximo em
, eixo de simetria
, corta o eixo
em
e
e o eixo
em
.