Dada a função quadrática f(x)=-x^{2}+4 x-3, determine:
(a) O vértice de parábola.
(b) Os pontos de intersecção com o eixo x, se tiverem.
(c) O ponto de intersecção com o eixo y.
(d) Esboce o gráfico da função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática f(x)=-x^{2}+4x-3 e pede quatro coisas:
  • (a) o vértice da parábola;
  • (b) os pontos de intersecção com o eixo x (raízes), se existirem;
  • (c) o ponto de intersecção com o eixo y;
  • (d) um esboço do gráfico da função.
Informações importantes que extraí do enunciado (coeficientes da função quadrática):
  • a=-1 (coeficiente de x^{2}),
  • b=4 (coeficiente de x),
  • c=-3 (termo independente).

Passo 2

Vamos encontrar o vértice. Dois caminhos: usar a fórmula da abscissa do vértice ou completar o quadrado. Primeiro a fórmula rápida:
A abscissa do vértice é dada por
x_{v}=-\frac{b}{2a}.
Substituindo a=-1 e b=4:
x_{v}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=-\frac{4}{-2}=2.
Agora a ordenada do vértice é y_{v}=f(x_{v}). Calculando:
y_{v}=f(2)=-2^{2}+4\cdot 2-3=-4+8-3=1.
Logo o vértice é o ponto (2,1), isto é, \bigl(2,1\bigr).
Para aprender melhor, mostro também completing the square (completar o quadrado) que explica por que isso é o vértice. Reescrevendo f:
f(x)=-x^{2}+4x-3 = -\bigl(x^{2}-4x+3\bigr).
Dentro do parêntese complete o quadrado: x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4. Assim
x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-4+3=(x-2)^{2}-1.
Portanto
f(x)=-\bigl((x-2)^{2}-1\bigr)=-(x-2)^{2}+1.
Essa forma mostra imediatamente que o máximo (vértice, porque a parábola é invertida) ocorre em x=2 com valor y=1.

Passo 3

Agora as intersecções com o eixo x: são as raízes da equação f(x)=0. Usamos a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) e o discriminante.
A equação é
-x^{2}+4x-3=0.
O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4.
Como \Delta>0 existem duas raízes reais distintas. A fórmula das raízes é
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Substituindo:
x=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2\cdot(-1)}=\frac{-4\pm 2}{-2}.
Calcule as duas soluções:
  • Com o sinal +: x=\dfrac{-4+2}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1.
  • Com o sinal -: x=\dfrac{-4-2}{-2}=\dfrac{-6}{-2}=3.
Portanto as intersecções com o eixo x são os pontos (1,0) e (3,0). Verificação rápida: f(1)=-1+4-3=0 e f(3)=-9+12-3=0.

Passo 4

Intersecção com o eixo y. Isso ocorre em x=0. Calcule f(0):
f(0)=-0^{2}+4\cdot 0-3=-3.
Logo o ponto de intersecção com o eixo y é (0,-3).

Passo 5

Esboço do gráfico — o que precisamos saber para desenhar uma parábola de forma confiável:
  • Como a=-1<0, a parábola é concava para baixo (tem um máximo).
  • Vértice: \bigl(2,1\bigr) — ponto máximo.
  • Eixo de simetria: a reta x=2.
  • Interseções com o eixo x: (1,0) e (3,0) — simétricas em relação a x=2.
  • Interseção com o eixo y: (0,-3).
  • Podemos calcular mais um ponto para ajudar no esboço, por exemplo f(4)=-4^{2}+4\cdot4-3=-16+16-3=-3. Assim (4,-3) tem o mesmo y que (0,-3), confirmando a simetria.
Como desenhar (passo a passo para a prova):
  1. Marque o vértice \bigl(2,1\bigr).
  2. Desenhe a linha vertical x=2 como eixo de simetria (só como guia).
  3. Marque os pontos (1,0) e (3,0) no eixo x.
  4. Marque o ponto (0,-3) e, por simetria, (4,-3).
  5. Faça uma curva suave passando por esses pontos, com concavidade para baixo, atingindo o máximo em (2,1) e caindo para -\infty quando x\to\pm\infty.
Dica prática: coloque os pontos em um papel quadriculado e ligue por uma curva simétrica — o esboço ficará preciso o suficiente para uma prova.

Resposta

(a) Vértice: \bigl(2,1\bigr)
(b) Intersecções com o eixo x: (1,0) e (3,0)
(c) Intersecção com o eixo y: (0,-3)
(d) Esboço/descrição: parábola com concavidade para baixo, máximo em \bigl(2,1\bigr), eixo de simetria x=2, corta o eixo x em (1,0) e (3,0) e o eixo y em (0,-3).

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