Seja
uma função diferenciável. Mostre que se
é um ponto de mínimo ou máximo de
, então
.
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável
e um ponto
que é ponto de mínimo ou ponto de máximo de
. O que se pede: provar que, nessas hipóteses,
.
Informações dadas:
-
é diferenciável em (isso significa que a derivada existe). -
é ponto de mínimo de ou é ponto de máximo de .
Pergunta explícita:
- Mostrar que
.
Passo 2
Definição e ideias fundamentais que vou usar (explicadas devagar):
- A derivada de
em é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero:
Aqui
é um número real pequeno (positivo ou negativo) que representa um deslocamento em relação a
. O quociente
mede a razão de variação média de
entre
e
.
- Também existem os limites laterais:
que correspondem às aproximações apenas pela direita (
) ou apenas pela esquerda (
). Se
é diferenciável em
, esses dois limites existem e são iguais entre si, e igualam
.
- Definição de ponto de mínimo local (vou usar mínimo local; máximo é análogo):
é ponto de mínimo local se existe tal que, para todo com , tem-se . Em palavras: é menor ou igual aos valores de próximos de .
Passo 3
Use a definição de mínimo para deduzir desigualdades sobre o quociente incremental.
Suponha que
seja ponto de mínimo local. Então existe
tal que, para todo
com
, vale
Considere dois casos para
pequeno:
- Se
e , então . Como , dividir por preserva o sinal, logo
- Se
e (isto é, ), então ainda . Agora é negativo, ao dividir por invertemos o sinal da desigualdade, então
Essas duas observações dizem: as razões incrementais à direita são não-negativas e as à esquerda são não-positivas, para incrementos suficientemente pequenos.
Passo 4
Passe para os limites laterais usando as desigualdades.
Defina os limites laterais
Pela desigualdade obtida no passo anterior, para todo
com
tem-se
. Portanto, qualquer valor da função quociente quando
se aproxima por valores positivos é
. Assim, se o limite
existe (ou mesmo como limite inferior), necessariamente
Analogamente, como
para
, segue que, se o limite
existe,
Essas conclusões são intuitivas: a aproximação pela direita não pode tender para um número negativo se todos os quocientes nessa aproximação são
; e o mesmo para a esquerda com
.
Passo 5
Use diferenciabilidade para igualar os limites laterais e concluir.
A hipótese diz que
é diferenciável em
. Por definição, isso significa que o limite simétrico existe:
o que implica que os limites laterais existem e são iguais:
Pelo passo 4 temos
e
. Como
, o único número que é ao mesmo tempo
e
é
. Portanto
Isto provou a afirmação no caso de
ser ponto de mínimo local.
Passo 6
Trate o caso de máximo (rápido, por analogia).
Se
é ponto de máximo local então existe
tal que, para
, vale
. Repetindo as mesmas manipulações:
- Para
: , logo . - Para
: , logo .
Com diferenciabilidade,
. Assim
e
ao mesmo tempo, novamente obrigando
.
Passo 7
Exemplos e observações finais (importante para entender na prova):
-
Exemplo de aplicação: para
tem-se . O ponto é mínimo local (e global), e , conforme a afirmação. -
Contraexemplo que mostra por que é crucial exigir diferenciabilidade: a função
tem um mínimo em (pois e ), mas não é diferenciável em . As razões incrementais são se e se ; os limites laterais existem e são diferentes ( e ), então não existe . Isso mostra que a hipótese de diferenciabilidade não é dispensável. -
Intuição rápida: no mínimo ou máximo local a função não pode “subir” tanto de um lado e “descer” do outro de modo a produzir uma inclinação não nula; as inclinações médias de direita e de esquerda têm sinais opostos ou nulos, e se a derivada existe elas se encontram forçadamente em zero.