(2,0) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Mostre que se a é um ponto de mínimo ou máximo de f, então f^{\prime}(a)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto a\in\mathbb{R} que é ponto de mínimo ou ponto de máximo de f. O que se pede: provar que, nessas hipóteses, f^{\prime}(a)=0.
Informações dadas:
  • f é diferenciável em a (isso significa que a derivada f'(a) existe).
  • a é ponto de mínimo de f ou a é ponto de máximo de f.
Pergunta explícita:
  • Mostrar que f^{\prime}(a)=0.

Passo 2

Definição e ideias fundamentais que vou usar (explicadas devagar):
  • A derivada de f em a é o limite do quociente incremental quando o incremento h tende a zero:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui h é um número real pequeno (positivo ou negativo) que representa um deslocamento em relação a a. O quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} mede a razão de variação média de f entre a e a+h.
  • Também existem os limites laterais:
\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad\text{e}\quad\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
que correspondem às aproximações apenas pela direita ( h>0) ou apenas pela esquerda ( h<0). Se f é diferenciável em a, esses dois limites existem e são iguais entre si, e igualam f'(a).
  • Definição de ponto de mínimo local (vou usar mínimo local; máximo é análogo): a é ponto de mínimo local se existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-a|<\delta, tem-se f(x)\ge f(a). Em palavras: f(a) é menor ou igual aos valores de f próximos de a.

Passo 3

Use a definição de mínimo para deduzir desigualdades sobre o quociente incremental.
Suponha que a seja ponto de mínimo local. Então existe \delta>0 tal que, para todo h com |h|<\delta, vale
f(a+h)\ge f(a).
Considere dois casos para h pequeno:
  1. Se h>0 e h<\delta, então f(a+h)\ge f(a). Como h>0, dividir por h preserva o sinal, logo
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\ge 0 \qquad\text{para todo } 0<h<\delta.
  1. Se h<0 e |h|<\delta (isto é, -\delta<h<0), então ainda f(a+h)\ge f(a). Agora h é negativo, ao dividir por h invertemos o sinal da desigualdade, então
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\le 0 \qquad\text{para todo } -\delta<h<0.
Essas duas observações dizem: as razões incrementais à direita são não-negativas e as à esquerda são não-positivas, para incrementos suficientemente pequenos.

Passo 4

Passe para os limites laterais usando as desigualdades.
Defina os limites laterais
L_+:=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad L_-:=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Pela desigualdade obtida no passo anterior, para todo h com 0<h<\delta tem-se \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\ge0. Portanto, qualquer valor da função quociente quando h se aproxima por valores positivos é \ge0. Assim, se o limite L_+ existe (ou mesmo como limite inferior), necessariamente
L_+\ge 0.
Analogamente, como \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\le0 para -\delta<h<0, segue que, se o limite L_- existe,
L_-\le 0.
Essas conclusões são intuitivas: a aproximação pela direita não pode tender para um número negativo se todos os quocientes nessa aproximação são \ge0; e o mesmo para a esquerda com \le0.

Passo 5

Use diferenciabilidade para igualar os limites laterais e concluir.
A hipótese diz que f é diferenciável em a. Por definição, isso significa que o limite simétrico existe:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
o que implica que os limites laterais existem e são iguais:
L_+=L_-=f'(a).
Pelo passo 4 temos L_+\ge0 e L_-\le0. Como L_+=L_-, o único número que é ao mesmo tempo \ge0 e \le0 é 0. Portanto
f'(a)=L_+=L_-=0.
Isto provou a afirmação no caso de a ser ponto de mínimo local.

Passo 6

Trate o caso de máximo (rápido, por analogia).
Se a é ponto de máximo local então existe \delta>0 tal que, para |h|<\delta, vale f(a+h)\le f(a). Repetindo as mesmas manipulações:
  • Para 0<h<\delta: \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\le0, logo L_+\le0.
  • Para -\delta<h<0: \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\ge0, logo L_-\ge0.
Com diferenciabilidade, L_+=L_-=f'(a). Assim f'(a)\le0 e f'(a)\ge0 ao mesmo tempo, novamente obrigando f'(a)=0.

Passo 7

Exemplos e observações finais (importante para entender na prova):
  • Exemplo de aplicação: para f(x)=x^2 tem-se f'(x)=2x. O ponto a=0 é mínimo local (e global), e f'(0)=0, conforme a afirmação.
  • Contraexemplo que mostra por que é crucial exigir diferenciabilidade: a função g(x)=|x| tem um mínimo em a=0 (pois g(x)\ge0 e g(0)=0), mas g não é diferenciável em 0. As razões incrementais são \dfrac{|h|-0}{h}=1 se h>0 e -1 se h<0; os limites laterais existem e são diferentes ( 1 e -1), então não existe g'(0). Isso mostra que a hipótese de diferenciabilidade não é dispensável.
  • Intuição rápida: no mínimo ou máximo local a função não pode “subir” tanto de um lado e “descer” do outro de modo a produzir uma inclinação não nula; as inclinações médias de direita e de esquerda têm sinais opostos ou nulos, e se a derivada existe elas se encontram forçadamente em zero.

Resposta

f'(a)=0

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