Dada a função quadrática p(x)=a x^2+b x+c, prove que as coordenadas ( xv, yv ) do vértice da parábola são dadas por
xnu=-b2 a e yv=-De

Passo 1

O enunciado pede para achar as coordenadas do vértice de uma parábola definida por uma função quadrática p(x)=ax^2+bx+c. O conteúdo é completar o quadrado (ou derivadas) e vamos precisar usar a definição de discriminante De.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a em p(x) para isolar o quadrado perfeito: escrevemos
p(x)=al(x^2+bax+car)

Passo 3

Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembrando que l(x+b2ar)^2=x^2+bax+b^24a^2, temos
$$x2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)2-\frac{b2}{4a2}+\frac{c}{a}.
$$

Passo 4

Substituindo de volta em p(x) e rearranjando constantes,
p(x)=al(x+b2ar)^2-ab^24a^2+aca =al(x+b2ar)^2-b^24a+c

Passo 5

Reconhecemos que
-b^24a+c= -b^2-4ac4a=-Delogo
$$p(x)=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^2-\frac{\Delta}{4a}.
$$

Passo 6

A forma completada mostra que o termo quadrado é sempre >=0, ficando mínimo quando ele vale zero, ou seja em x+tfracb2a=0. Daí
$$x_v=-\frac{b}{2a}
$$e substituindo na expressão de xv=-b2a o valor mínimo de p(x) é o termo constante:
$$y_v=-\frac{\Delta}{4a}.
$$

Resposta

xv=-b2a, yv=-De

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