Dada a função quadrática
, prove que as coordenadas (
) do vértice da parábola são dadas por
Passo 1
O enunciado pede para achar as coordenadas do vértice de uma parábola definida por uma função quadrática
. O conteúdo é completar o quadrado (ou derivadas) e vamos precisar usar a definição de discriminante
.
Passo 2
Primeiro, fatoramos
em
para isolar o quadrado perfeito: escrevemos
Passo 3
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembrando que
, temos
$$x2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)2-\frac{b2}{4a2}+\frac{c}{a}.
$$
Passo 4
Substituindo de volta em
e rearranjando constantes,
Passo 5
Reconhecemos que
$$p(x)=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^2-\frac{\Delta}{4a}.
$$
Passo 6
A forma completada mostra que o termo quadrado é sempre
, ficando mínimo quando ele vale zero, ou seja em
. Daí
$$x_v=-\frac{b}{2a}
$$e substituindo na expressão de
o valor mínimo de
é o termo constante:
$$y_v=-\frac{\Delta}{4a}.
$$