Considere as afirmativas abaixo e assinale a opção correta.
1- Se y^{a+1}=\sqrt[a]{x}, com \ln x=3 \ln y>0, então a é um número racional.
II- Se A=\frac{a+1}{\sqrt{4 a^{2}+8 a+4}}, então A=\frac{1}{2}, \forall a \in \mathbb{R}-\{-1\}.
III- \operatorname{Se} B=e^{\ln 16+8}+\frac{d\left[2^{x^{2}+x}\right]}{d x}, então
B=16 e^{8}+2^{x^{2}+x} \cdot \ln 2^{2 x+1}
(A) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
(B) Todas as afirmativas são verdadeiras.
(C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
(E) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

Passo 1

Temos três afirmativas para verificar:
I- Se \;y^{a+1}=\sqrt[a]{x}\; com \ln x=3\ln y>0, então a é racional.
II- Se \;A=\frac{a+1}{\sqrt{4a^2+8a+4}}, então A=\tfrac12, para todo a\neq-1.
III- Se
B = e^{\ln16+8} \;+\;\frac{d}{dx}\bigl[2^{\,x^2+x}\bigr],
então
B = 16e^8 \;+\;2^{\,x^2+x}\,\ln2^{\,2x+1}.
Para cada afirmativa usaremos propriedades de logaritmo e exponencial (I), simplificação de radicais e valor absoluto (II) e derivada de função exponencial (III).

Passo 2

Verificando I:
Da equação y^{a+1}=x^{1/a} tomamos logaritmo:
(a+1)\ln y = \frac{1}{a}\,\ln x.
Como \ln x=3\ln y com \ln y\neq0, temos
a+1 = \frac{3}{a} \;\;\Longrightarrow\;\; a^2 + a - 3 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; a = \frac{-1\pm\sqrt{13}}{2},
que são números irracionais. Logo a afirmativa I é falsa.

Passo 3

Verificando II:
A = \frac{a+1}{\sqrt{4a^2+8a+4}} = \frac{a+1}{\sqrt{4\,(a+1)^2}} = \frac{a+1}{2\,|a+1|} \;=\; \begin{cases} +\tfrac12, & a>-1,\\\\ -\tfrac12, & a<-1. \end{cases}
Portanto A=\tfrac12 só quando a>-1, e para a<-1 -\tfrac12. A afirmação “ A=\tfrac12 para todo a\neq-1” é falsa.

Passo 4

Verificando III:
Primeiro termo:
e^{\ln16+8} = e^{\ln16}\,e^8 = 16\,e^8.
Para a derivada,
\frac{d}{dx}2^{\,x^2+x} =2^{\,x^2+x}\,\ln2\;\frac{d}{dx}(x^2+x) =2^{\,x^2+x}\,\ln2\,(2x+1) =2^{\,x^2+x}\,\ln\bigl(2^{\,2x+1}\bigr).
Somando:
B = 16e^8 + 2^{\,x^2+x}\,\ln2^{\,2x+1},
que coincide com o enunciado. Logo III é verdadeira.

Resposta

(D) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

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