Dada a função S(t)=2 t^2t^2-1
Analise a concavidade.

Passo 1

O enunciado pede análise de concavidade da função S(t)=2t^2t^2-1. O conteúdo envolve derivadas: precisamos obter a segunda derivada e estudar seu sinal no domínio Rsetminuspm1.

Passo 2

Primeiro calculamos a primeira derivada usando regra do quociente. Seja N(t)=2t^2 e D(t)=t^2-1, então
S'(t)=N'(t)D(t)-N(t)D'(t)D(t)^2 =4t(t^2-1)-2t^2cdot2t(t^2-1)^2 =-4t(t^2-1)^2

Passo 3

Agora aplicamos derivação da forma ucdot v ou regra da cadeia para achar
S''(t) = ddtl(-4t,(t^2-1)^-2r) = -4,(t^2-1)^-2 + (-4t)cdot(-2)(t^2-1)^-3cdot2t
e, finalmente,
S''(t) = -4(t^2-1)^-2 + 16t^2(t^2-1)^-3 = 4(3t^2+1)(t^2-1)^3

Passo 4

Para analisar a concavidade, observamos que 3t^2+1>0 para todo t. Assim o sinal de S''(t) depende de (t^2-1)^3. Como o cubo mantém o sinal, temos:
  • (t^2-1)^3>0 se e somente se |t|>1.
  • (t^2-1)^3<0 se e somente se -1.

Passo 5

Concluímos que a função é côncava para cima quando S''(t)>0, ou seja em ((-
infty,-1)\cup(1,\infty)), e côncava para baixo quando S''(t)<0, isto é em (-1,1). Como não há t no domínio em que S''(t)=0, não existem pontos de inflexão na função.

Resposta

A função é côncava para cima em ((-
infty,-1)\cup(1,\infty)) e côncava para baixo em (-1,1). Não há pontos de inflexão.

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