Dada a função
Analise a concavidade.
Analise a concavidade.
Passo 1
O enunciado pede análise de concavidade da função
. O conteúdo envolve derivadas: precisamos obter a segunda derivada e estudar seu sinal no domínio
.
Passo 2
Primeiro calculamos a primeira derivada usando regra do quociente. Seja
e
, então
Passo 3
Agora aplicamos derivação da forma
ou regra da cadeia para achar
e, finalmente,
Passo 4
Para analisar a concavidade, observamos que
para todo
. Assim o sinal de
depende de
. Como o cubo mantém o sinal, temos:
-
se e somente se . -
se e somente se .
Passo 5
Concluímos que a função é côncava para cima quando
, ou seja em ((-
infty,-1)\cup(1,\infty)), e côncava para baixo quando
, isto é em
. Como não há
no domínio em que
, não existem pontos de inflexão na função.
Resposta
A função é côncava para cima em ((-
infty,-1)\cup(1,\infty)) e côncava para baixo em
. Não há pontos de inflexão.