Dada a função S(t)=2 t^2t^2-1
Determine os intervalos nos quais f é crescente e os intervalos nos quais f é decrescente.

Passo 1

A função dada é S(t)=2t^2t^2-1. O conteúdo é estudo de monotonicidade de funções racionais e vamos precisar: determinar o domínio, calcular a derivada S'(t) usando a regra do quociente e analisar o sinal de S'(t) para encontrar onde S é crescente ou decrescente.

Passo 2

O domínio de S exige que o denominador t^2-1 não seja zero, logo tneqpm1. Assim o domínio é composto pelos intervalos (-infty,-1),(-1,1),(1,infty).

Passo 3

Aplicando a regra do quociente com u(t)=2t^2 e v(t)=t^2-1, temos u'=4t e v'=2t. Então
S'(t)=u'v-uv'v^2=4t(t^2-1)-2t^2cdot2t(t^2-1)^2=4t^3-4t-4t^3(t^2-1)^2=-4t(t^2-1)^2.

Passo 4

Note que o denominador (t^2-1)^2>0 para todo tneqpm1, então o sinal de S'(t) é o mesmo de -4t. Isso significa que S'(t)>0 quando t<0 e S'(t)<0 quando t>0.

Passo 5

Considerando o domínio, concluímos: para t<0 (isto é nos intervalos (-infty,-1) e (-1,0)) temos S'(t)>0, então S é crescente; para t>0 (nos intervalos (0,1) e (1,infty)) temos S'(t)<0, então S é decrescente.

Resposta

S é crescente em (-∞,-1) e em (-1,0); decrescente em (0,1) e em (1,∞).

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