Um quadrado de lado l está se expandindo de acordo com a equação l=2+t^2, sendo que a variável t representa o tempo. Determine a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t=2.

Passo 1

O enunciado diz que temos um quadrado cujo lado varia segundo l = 2 + t^2. O objetivo é encontrar a taxa de variação da área A desse quadrado no instante t=2. O conteúdo principal envolve derivadas e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

A área de um quadrado em função do lado é dada por A = l^2.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivar A em relação a t. Temos
dAdt = 2,l cdot dldt

Passo 4

Derivamos a expressão de l para achar dldt. Como l = 2 + t^2, então
dldt = 2t.

Passo 5

No instante t=2, calculamos
l(2) = 2 + 2^2 = 6
e
dldtl|t=2 = 2 cdot 2 = 4.

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula de dAdt,
dAdtg|t=2 = 2 cdot 6 cdot 4 = 48

Resposta

48

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